{"id":22877,"date":"2025-04-22T07:19:42","date_gmt":"2025-04-22T05:19:42","guid":{"rendered":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=22877"},"modified":"2025-11-13T20:12:45","modified_gmt":"2025-11-13T19:12:45","slug":"modelando-y-describiendo-epidemias","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=22877","title":{"rendered":"Modelando y describiendo epidemias"},"content":{"rendered":"

Una epidemia es un estado de salud comunitaria que aparece cuando una enfermedad infecta a un n\u00famero de individuos superior al esperado en el colectivo durante un tiempo determinado.<\/p>\n

\"\"
Fig. 1 – Epidemia.<\/figcaption><\/figure>\n

Desgraciadamente, a lo largo de la Historia, se han producido muchas epidemias de consecuencias tr\u00e1gicas. Mencionemos a t\u00edtulo de ejemplo las cuatro siguientes: la peste de Justiniano (Constantinopla, hacia 540 D.C., causando la muerte de m\u00e1s de 4 millones de personas); la peste negra (extendida por Europa de 1347 a 1352, unos 50 millones de personas), la gripe espa\u00f1ola (extendida por el mundo entero debido al despliegue de tropas en la Primera Guerra Mundial, de 20 a 50 millones) y, finalmente, el virus de inmunodeficiencia adquirida, m\u00e1s conocido como el SIDA (detectado por primera vez en 1981 y tambi\u00e9n extendido por todo el mundo, causando la muerte de aproximadamente 25 millones de personas).<\/p>\n

El lector comprender\u00e1 que es imposible abordar con seriedad este tema en una entrada. Tiene cientos de enfoques y derivaciones posibles. As\u00ed que me contentar\u00e9 con hablar de algunas de las cosas que pueden hacer las Matem\u00e1ticas para su an\u00e1lisis, para la descripci\u00f3n de su evoluci\u00f3n y, tambi\u00e9n, para sugerir acciones paliativas.<\/p>\n

El modelo SIR de Kermack \u00a0y McKendrick<\/h4>\n

 <\/p>\n

Es interesante que se pueden conseguir beneficios en muchas situaciones razonablemente realistas. Los modelos m\u00e1s sencillos se deben a Kermack y McKendrick [1]. Son suficientemente simples como para ser entendidos por el com\u00fan de los mortales. Tan s\u00f3lo es necesario<\/p>\n

    \n
  • \n

    Comprender qu\u00e9 es una funci\u00f3n del tiempo y qu\u00e9 es una derivada respecto del tiempo y<\/p>\n<\/li>\n

  • \n

    Aceptar algunas premisas que, por otra parte, parecen razonables.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n

    Para no aburrir al lector, me limitar\u00e9 a presentar un modelo muy conocido, usualmente denominado SIR, que ha sido validado en m\u00faltiples ocasiones.<\/p>\n

    \"\"
    Fig. 2 – La soluci\u00f3n del modelo SIR.<\/figcaption><\/figure>\n

    Digamos para empezar que una funci\u00f3n del tiempo (y escribiremos \\(F = F(t)\\)) no es m\u00e1s que una \u00abregla\u00bb que a cada instante de tiempo \\(t\\) asigna un n\u00famero. Un ejemplo es el n\u00famero de individuos infecciosos \\(I = I(t)\\) de una poblaci\u00f3n donde se ha declarado una epidemia, por ejemplo medido en miles de personas.<\/p>\n

    La derivada de la funci\u00f3n \\(F\\) en el instante \\(t\\), usualmente denotada \\(F'(t)\\), se debe interpretar como la velocidad con la que est\u00e1n cambiando los valores de \\(F\\) en dicho instante de tiempo. Por ejemplo, diremos que \\(I'(t)\\) es el n\u00famero de individuos que pasan en la unidad de tiempo de no infecciosos a infecciosos (si es una cantidad positiva) o al rev\u00e9s, de infecciosos a no infecciosos (si es una cantidad negativa).<\/p>\n

    En el modelo SIR cl\u00e1sico, se supone que la poblaci\u00f3n total es muy aproximadamente constante entre un instante inicial \\(t = 0\\) y otro final \\(t = T\\). Se denota \\(N\\) el n\u00famero total de individuos y la poblaci\u00f3n se divide en tres grupos, con n\u00fameros de individuos que cambian cuando cambia \\(t\\), es decir, tres funciones de \\(t\\),<\/p>\n

    \\[S = S(t), \\quad I = I(t), \\quad R = R(t),\\]<\/p>\n

    que se interpretan como los n\u00fameros de individuos susceptibles, infecciosos y recuperados (e inmunes). Se suponen conocidos los valores en \\(t = 0\\) y se admite que<\/p>\n

    \\[ \\left\\{ \\begin{array}{l}\\displaystyle S\u2019 = -\\beta I S , \\\\ \\displaystyle I\u2019 = \\beta I S – \\gamma I, \u00a0\\\\ \\displaystyle R\u2019 = \\gamma I \\end{array} \\right. \\]<\/p>\n

    donde \\(\\beta\\) y \\(\\gamma\\) son constantes positivas.<\/p>\n

    \"\"
    Fig. 3 – La onda viajera de individuos susceptibles.<\/figcaption><\/figure>\n

    Por ejemplo, cuando escribimos la primera de las ecuaciones precedentes, estamos diciendo que el n\u00famero de individuos que pasa de susceptibles a no susceptibles en la unidad de tiempo es proporcional al n\u00famero de \u201ccontactos\u201d que puede haber entre un individuo infeccioso y otro susceptible.<\/p>\n

    Hay (al menos) tres problemas matem\u00e1ticos interesantes ligados a este modelo:<\/p>\n

      \n
    1. \n

      El problema directo: se suponen conocidos los valores de las constantes \\(\\beta\\) y \\(\\gamma\\) y debemos probar rigurosamente que existe una \u00fanica soluci\u00f3n y, a continuaci\u00f3n, calcular buenas aproximaciones de los valores de \\(S(t)\\), \\(I(t)\\) y \\(R(t)\\) para tiempos \\(t\\) futuros, entre \\(0\\) y \\(T\\).<\/p>\n<\/li>\n

    2. \n

      El problema inverso: suponemos conocidos los valores \u00abfinales\u00bb, es decir en el tiempo \\(T\\), de (por ejemplo) \\(I\\) y \\(R\\) . Tratamos ahora de identificar las constantes \\(\\beta\\) y \\(\\gamma\\) a partir de esta informaci\u00f3n.<\/p>\n<\/li>\n

    3. \n

      El problema de control: aceptando que podemos influir con acciones desde el exterior en los valores que toman \\(\\beta\\) y \\(\\gamma\\) (por ejemplo con vacunas, confinamiento, etc.), tratamos de encontrar \u00abbuenos\u00bb valores de \\(\\beta\\) y \\(\\gamma\\) que hagan que (por ejemplo) \\(I\\) sea m\u00ednimo en el instante \\(T\\).<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n

      En la Fig. 2 se observa la manera en la que evolucionan la soluci\u00f3n del modelo SIR en un caso particular.<\/p>\n

      Otros modelos m\u00e1s complejos<\/h4>\n

       <\/p>\n

      Cuestiones de este tipo se pueden plantear para modelos m\u00e1s avanzados (en ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales, deterministas o estoc\u00e1sticas, con o sin retardos, con o sin memoria, etc.) \u00a0y pueden dar respuesta certera en muchas situaciones.<\/p>\n

      Por ejemplo, podemos \u201ccomplicar\u201d el sistema SIR de varias maneras:<\/p>\n

        \n
      • \n

        Suponiendo que \\(\\beta\\) y\/o \\(\\gamma\\) no son constantes, sino que var\u00edan con \\(t\\).<\/p>\n<\/li>\n

      • \n

        O a\u00f1adiendo nuevas variables o inc\u00f3gnitas, \\(E = E(t)\\) y \\(Q = Q(t)\\), que respectivamente nos dicen cu\u00e1ntos individuos est\u00e1n \u201cexpuestos\u201d a la infecci\u00f3n y cu\u00e1ntos son confinados en cada instante de tiempo y escribiendo nuevas ecuaciones acopladas a las anteriores que indican cu\u00e1nto valen \\(E\u2019\\) y \\(Q\u2019\\).<\/p>\n<\/li>\n

      • \n

        O suponiendo que las funciones \\(S\\), \\(I\\), etc. no s\u00f3lo dependen de \\(t\\) sino tambi\u00e9n de d\u00f3nde estamos contando individuos, es decir, de los puntos \\(x\\) de una regi\u00f3n del plano.<\/p>\n<\/li>\n

      • \n

        Podemos tener en cuenta tambi\u00e9n el efecto de la edad de los individuos, la presencia de sistemas de vacunaci\u00f3n y tratamiento, la estructura social de la poblaci\u00f3n, \u2026<\/p>\n

        \"\"
        Fig. 4 – Onda viajera de individuos infecciosos.<\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<\/ul>\n

        En particular, si aceptamos que los individuos est\u00e1n distribuidos a lo largo y ancho de un h\u00e1bitat de grandes dimensiones y la poblaci\u00f3n de susceptibles es inicialmente suficientemente grande, aparecen soluciones cuyo comportamiento es de la forma \\(S \\approx \\hat S(x-ct)\\), \\(I \\approx \\hat I(x-ct)\\) para determinados valores de \\(c\\); v\u00e9anse las Fig. 3 y 4 para una ilustraci\u00f3n gr\u00e1fica.<\/p>\n

        Estas soluciones se propagan como ondas planas con velocidad \\(c\\) y se denominan ondas epid\u00e9micas. Se puede interpretar en este caso que las infecciones avanzan con velocidad \\(c\\). Y se puede establecer una conexi\u00f3n de este comportamiento ondulatorio con los distintos brotes de peste que tuvieron lugar en Europa en el pasado: las plagas de Islandia (1402-1404), Londres (1592-1594), Mil\u00e1n (1629-1631), Sevilla (1649-1650), etc.<\/p>\n

        Para m\u00e1s informaci\u00f3n, v\u00e9ase por ejemplo [2, 3]. Para un an\u00e1lisis detallado de los modelos que permiten describir la pandemia de COVID-19, causada por el virus SARS-CoV-2, v\u00e9ase [4].<\/p>\n

        Nota:<\/strong> La imagen destacada ha sido tomada de CDC (Centros para el Control y la Prevenci\u00f3n de Enfermedades, Gobierno de EEUU):<\/p>\n

        https:\/\/espanol.cdc.gov\/covid\/about\/index.html.<\/p>\n

        Para saber m\u00e1s: algunas referencias<\/h4>\n

         <\/p>\n

        [1] W. O. Kermack & A. G. McKendrick, \u00abA contribution to the mathematical theory of epidemics\u00bb, Proceedings of the Royal Society of London Series A, 115: 700-721, 1927.<\/p>\n

        [2] F. Brauer, C Castillo-Ch\u00e1vez, \u201cMathematical Models in Population Biology and Epidemiology\u201d, NY: Springer, 2001.<\/p>\n

        [3] D.J. Daley, J. Gani, J., \u201cEpidemic Modeling. An Introduction\u201d, NY: Cambridge University Press, 2005.<\/p>\n

        [4] E.A. Hern\u00e1ndez-Vargas, J.X. Velasco-Hern\u00e1ndez, \u201cMathematical Modeling, Simulations, and AI for Emergent Pandemic Diseases. Lessons Learned From COVID-19\u201d, Academic Press, London, 2023.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        Una epidemia es un estado de salud comunitaria que aparece cuando una enfermedad infecta a un n\u00famero de individuos superior al esperado en el colectivo durante un tiempo determinado. Desgraciadamente, a lo largo de la Historia, se han producido muchas epidemias de consecuencias tr\u00e1gicas. 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