{"id":23526,"date":"2025-04-24T07:00:32","date_gmt":"2025-04-24T05:00:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=23526"},"modified":"2025-04-21T21:06:20","modified_gmt":"2025-04-21T19:06:20","slug":"m-kashiwara-premio-abel-2025","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=23526","title":{"rendered":"M. Kashiwara: premio Abel 2025"},"content":{"rendered":"
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Masaki Kashiwara, ICM Madrid 2006 (by G.-M. Greuel, MFO archives)<\/figcaption><\/figure>\n

El pasado 26 de marzo, la Academia Noruega de Ciencias y Letras hizo p\u00fablico el nombre del ganador del Premio Abel 2025<\/a>: el Profesor Masaki Kashiwara<\/a>, del Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) de la Universidad de Kyoto y del Kyoto University Institute for Advanced Study (KUIAS).<\/p>\n

El Premio Abel, junto con las Medallas Fields<\/a>, son las m\u00e1ximas distinciones en Matem\u00e1ticas, aunque ambos galardones tienen caracter\u00edsticas distintas. Las Medallas Fields se instituyeron en 1936 y son otorgadas cada cuatro a\u00f1os por la Uni\u00f3n Matem\u00e1tica Internacional, coincidiendo con la celebraci\u00f3n del Congreso Internacional de Matem\u00e1ticos. En cada ocasi\u00f3n, se conceden hasta cuatro medallas que buscan reconocer las contribuciones m\u00e1s relevantes desde la edici\u00f3n anterior. Conllevan una dotaci\u00f3n de 15.000 d\u00f3lares canadienses y entre sus reglas figura una muy especial: los galardonados han de tener menos de 40 a\u00f1os. Predomina as\u00ed la identificaci\u00f3n de los avances concretos m\u00e1s importantes de las Matem\u00e1ticas, sobre las trayectorias cient\u00edficas de los investigadores.<\/p>\n

El Premio Abel, por su parte, fue instituido en el a\u00f1o 2002, coincidiendo con el segundo centenario del nacimiento de Niels Henrik Abel. Abel fue un matem\u00e1tico noruego excepcional que muri\u00f3 a los 26 a\u00f1os y que nos ofreci\u00f3 aportaciones tales como la imposibilidad de resolver la ecuaci\u00f3n polin\u00f3mica de grado 5 (o mayor) mediante f\u00f3rmulas radicales (del estilo de la bien conocida de segundo grado) -problema abierto durante m\u00e1s de 250 a\u00f1os-, o la teor\u00eda de las funciones abelianas<\/em>. Ya a finales del siglo XIX, otro matem\u00e1tico noruego, Sophus Lie, intent\u00f3 crear un premio en memoria de Abel. Esto ocurr\u00eda casi al mismo tiempo en que Alfred Nobel pensaba en no incluir en sus premios a las Matem\u00e1ticas. Pero no fue hasta 2002 cuando el Gobierno noruego dio el paso e instituy\u00f3 el premio, encargando de su gesti\u00f3n a la Academia Noruega de Ciencias y Letras<\/a>. El Premio Abel se concede anualmente y est\u00e1 dotado con 7,5 millones de coronas noruegas (equivalentes a 770.000 euros), similar a la de los Premios Nobel. El principal objetivo del Premio Abel es reconocer las trayectorias con logros cient\u00edficos pioneros en las Matem\u00e1ticas. Asimismo, el Premio pretende reforzar el estatus de las matem\u00e1ticas en la sociedad y estimular a ni\u00f1os y j\u00f3venes a interesarse por ellas.<\/p>\n

Y la pregunta obligada: \u00bfpor qu\u00e9 no existe un Premio Nobel de Matem\u00e1ticas? Aunque no podamos tener una respuesta concluyente al cien por cien, y aun habiendo circulado teor\u00edas que alud\u00edan a un enfrentamiento entre Alfred Nobel y el influyente matem\u00e1tico sueco G\u00f6sta Mittag-Leffler (alguna de ellas con tintes morbosos), la opini\u00f3n m\u00e1s extendida es que sencillamente las Matem\u00e1ticas no estaban dentro de los intereses de Nobel, inventor e industrial, cuyo principal objetivo era premiar aquellos \u00abinventos o descubrimientos\u00bb de mayor beneficio pr\u00e1ctico para la humanidad<\/p>\n

Pero volvamos al objetivo de esta entrada. Seg\u00fan ha publicado la Academia Noruega<\/a>, el Profesor Masaki Kashiwara ha sido galardonado con el Premio Abel 2025\u00a0\u201cpor sus contribuciones fundamentales al an\u00e1lisis algebraico y a la teor\u00eda de representaciones, en particular el desarrollo de la teor\u00eda de D-m\u00f3dulos y <\/em>el descubrimiento de las bases cristalinas (crystal bases)<\/em>\u201d.<\/p>\n

En contraste con otras disciplinas cient\u00edficas, en Matem\u00e1ticas no existe un faro com\u00fan que las gu\u00ede. Aun a costa de una gran simplificaci\u00f3n, en F\u00edsica existe una cuesti\u00f3n central: la comprensi\u00f3n de las leyes que gobiernan la materia y la energ\u00eda, desde las part\u00edculas elementales hasta el propio Universo. En Qu\u00edmica, es la comprensi\u00f3n de las leyes que gobiernan las mol\u00e9culas y sus combinaciones. En Biolog\u00eda, se trata de la comprensi\u00f3n de lo que es la vida, su estructura y su evoluci\u00f3n. Pero en Matem\u00e1ticas no existe una cuesti\u00f3n central propiamente dicha. Hay, eso s\u00ed, un lenguaje com\u00fan y herramientas compartidas, pero con multitud de objetivos -en principio- desconectados. Por eso en Matem\u00e1ticas apreciamos de manera muy especial aquellos descubrimientos capaces de conectar \u00e1reas o problemas alejados entre s\u00ed. Podemos entrever un deseo impl\u00edcito de unificaci\u00f3n.<\/p>\n

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Masaki Kashiwara and Mikio Sato: Private photo by Tetsuji Miwa \/ RIMS \/ Kyoto University<\/figcaption><\/figure>\n

Las contribuciones de Kashiwara son muy amplias y se reparten esencialmente en dos tem\u00e1ticas. En esta entrada nos centraremos en la primera de ellas, que se inscribe en lo \u00a0que su maestro Mikio Sato<\/a> denomin\u00f3 An\u00e1lisis Algebraico<\/em>, y m\u00e1s concretamente, en la Teor\u00eda de D-m\u00f3dulos<\/em>.<\/p>\n

Las ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) constituyen una important\u00edsima parcela del C\u00e1lculo Infinitesimal, o como hoy lo conocemos, del An\u00e1lisis Matem\u00e1tico. Son una herramienta insustituible para la modelizaci\u00f3n de la pr\u00e1ctica totalidad de los fen\u00f3menos naturales, empezando por sus or\u00edgenes en la Mec\u00e1nica, y continuando con la F\u00edsica, la Qu\u00edmica, la Ingenier\u00eda, y m\u00e1s recientemente con la Biolog\u00eda, adem\u00e1s de la Econom\u00eda, las Ciencias Sociales o la Inteligencia Artificial. Pero las ecuaciones diferenciales son tambi\u00e9n esenciales dentro de las propias Matem\u00e1ticas. Por ejemplo, ayudan a comprender la dependencia de las formas geom\u00e9tricas respecto de los par\u00e1metros.<\/p>\n

Del mismo modo que las ecuaciones algebraicas o anal\u00edticas (en una o varias variables) alcanzaron una simbiosis con los m\u00e9todos del \u00c1lgebra y alumbraron la Geometr\u00eda Algebraica y la Geometr\u00eda Aritm\u00e9tica a lo largo del siglo XX, Sato emprendi\u00f3 en la d\u00e9cada de 1960 una revoluci\u00f3n silenciosa, comenzando con la Teor\u00eda de las hiperfunciones <\/em>y el An\u00e1lisis microlocal<\/em>. Se trataba de utilizar los m\u00e9todos m\u00e1s sofisticados en aquel entonces del \u00c1lgebra, el \u00c1lgebra Homol\u00f3gica y la Teor\u00eda de Haces para estudiar los sistemas lineales de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes anal\u00edticos.<\/p>\n

El aspecto de una ecuaci\u00f3n, del tipo que sea, esconde en general el comportamiento de sus soluciones. Un simple cambio de sistema de referencia puede dar lugar a ecuaciones de aspecto completamente diferente, aun siendo en el fondo \u201cla misma ecuaci\u00f3n\u201d. Kashiwara, guiado por su mentor Sato, revolucion\u00f3 la teor\u00eda de los sistemas lineales de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes anal\u00edticos interpretando estos como m\u00f3dulos<\/em> sobre el correspondiente anillo de operadores diferenciales<\/em>, de ah\u00ed la denominaci\u00f3n Teor\u00eda de D-m\u00f3dulos<\/em>, de manera que aquellos pod\u00edan estudiarse intr\u00ednsecamente, independientemente de los sistemas de referencia. Esta interpretaci\u00f3n permit\u00eda, c\u00f3mo no, incorporar una versi\u00f3n intr\u00ednseca de las soluciones, pero lo que result\u00f3 verdaderamente innovador fue la aparici\u00f3n de las soluciones de orden superior<\/em>. Las soluciones de orden 0 corresponden a las soluciones cl\u00e1sicas de los sistemas homog\u00e9neos; las de orden 1 miden la obstrucci\u00f3n para resolver los sistemas no homog\u00e9neos; y as\u00ed hasta soluciones de orden igual al n\u00famero de variables de nuestro sistema.<\/p>\n

Este nuevo panorama se plasm\u00f3 en la tesis de m\u00e1ster de Kashiwara, defendida en 1970 cuando ten\u00eda 23 a\u00f1os. En ella demostr\u00f3 una versi\u00f3n generalizada (para las soluciones superiores) del cl\u00e1sico teorema de Cauchy-Kovalevskaya y comenz\u00f3 el estudio puramente algebraico de los anillos de operadores diferenciales y de sus correspondientes m\u00f3dulos.<\/p>\n

A partir de entonces, Kashiwara se concentr\u00f3 en el desarrollo de esta teor\u00eda. Demostr\u00f3 el Teorema de constructibilidad<\/em>, en el que se establece que los espacios de soluciones superiores de los sistemas hol\u00f3nomos <\/em>(sistemas especialmente importantes, en los que, a muy grandes rasgos, el n\u00famero de ecuaciones independientes coincide con el de inc\u00f3gnitas y con el de coordenadas) tienen dimensi\u00f3n finita; cabe se\u00f1alar que Z. Mebkhout y el autor de esta entrada dieron una demostraci\u00f3n geom\u00e9trica de este resultado en 1989, independiente de las herramientas de los sistemas el\u00edpticos utilizadas por Kashiwara. Igualmente, Kashiwara demostr\u00f3 el Teorema del \u00edndice<\/em>, en el que se da una relaci\u00f3n precisa entre las dimensiones de las soluciones superiores de estos sistemas y ciertos invariantes algebro-geom\u00e9tricos de sus singularidades, es decir de su variedad caracter\u00edstica<\/em>.<\/p>\n

Kashiwara tambi\u00e9n dio la definici\u00f3n correcta de las operaciones geom\u00e9tricas (imagen directa e imagen inversa) para los D-m\u00f3dulos y prob\u00f3 los correspondientes teoremas de finitud, pero el resultado m\u00e1s extraordinario en esta l\u00ednea fue la prueba de la correspondencia de Riemann-Hilbert<\/em> (demostrada independientemente por Z. Mebkhout<\/a>), que establece que los sistemas hol\u00f3nomos con singularidades regulares<\/em> pueden reconstruirse a partir de sus soluciones superiores (esto no es posible si solo se consideran las soluciones cl\u00e1sicas). Este resultado, que data de 1980, aunque no se public\u00f3 definitivamente hasta 1984, impuls\u00f3 a la Teor\u00eda de D-m\u00f3dulos al primer plano de la Geometr\u00eda Algebraica y la Teor\u00eda de Singularidades. Con \u00e9l se cerraba un ciclo que hab\u00eda comenzado con la formulaci\u00f3n cl\u00e1sica del problema (el n\u00famero 21 de la lista de Hilbert<\/a>, de 1900) y sobre el que Pierre Deligne<\/a> en 1970 ya hab\u00eda realizado un avance fundamental al extenderlo a dimensi\u00f3n arbitraria, pero soslayando siempre el estudio de las soluciones all\u00ed donde nuestro sistema tiene singularidades (Deligne obtuvo la Medalla Fields en 1978 y el Premio Abel en 2013). Fue la Teor\u00eda de D-m\u00f3dulos la que permiti\u00f3 dar el salto, utilizando para ello las susodichas soluciones superiores y, por supuesto, la maquinaria del \u00c1lgebra Homol\u00f3gica de Alexander Grothendieck<\/a> y de sus aplicaciones a la Geometr\u00eda Algebraica (Grothendieck obtuvo la Medalla Fields en 1966).<\/p>\n

Era claro que un resultado del porte de la correspondencia de Riemann-Hilbert iba a tener enormes consecuencias, y las expectativas no tardaron en hacerse realidad. M. Goresky y R. MacPherson<\/a> hab\u00edan descubierto algunos a\u00f1os antes, en el contexto de la Topolog\u00eda Algebraica, la Cohomolog\u00eda de Intersecci\u00f3n <\/em>(definida mediante las denominadas \u201cfunciones de perversidad\u201d<\/em>), con la que extendieron la Dualidad de Poincar\u00e9<\/em> a los espacios singulares. Por sugerencia de P. Deligne y J.L. Verdier<\/a>, ambos autores describieron la cohomolog\u00eda de intersecci\u00f3n de manera conceptual a trav\u00e9s del denominado complejo de intersecci\u00f3n<\/em> y, \u00a1maravilla de las maravillas!, dicho complejo result\u00f3 ser el complejo de soluciones superiores de un cierto D-m\u00f3dulo hol\u00f3nomo regular, entroncando as\u00ed con la correspondencia de Riemann-Hilbert y dando lugar a lo que se llamar\u00eda -jocosamente-, la Teor\u00eda de los haces perversos<\/em>.<\/p>\n

A partir de esta extraordinaria e inesperada conexi\u00f3n, Kashiwara y J.L. Brylinsk<\/a>y probaron en 1981 la conjetura de Kazhdan-Lusztig <\/em>(que tambi\u00e9n fue probada independientemente por J. Bernstein<\/a> y A. Beilinson<\/a> utilizando ideas similares, basadas tambi\u00e9n en la Teor\u00eda de D-m\u00f3dulos), uno de los resultados m\u00e1s buscados en la \u00e9poca dentro de otra gran \u00e1rea de las Matem\u00e1ticas: la Teor\u00eda de las Representaciones<\/em> de Grupos<\/em> (el trabajo de Murray Gell-Mann<\/a>, Premio Nobel de F\u00edsica en 1969, sobre los quarks y sus predicciones se fundamenta en las representaciones de grupos; desde entonces, estas tienen un enorme protagonismo en el Modelo Est\u00e1ndar de la F\u00edsica de part\u00edculas).<\/p>\n

Fue as\u00ed como Kashiwara se adentr\u00f3 por un nuevo camino, que ha marcado su trayectoria desde entonces y en la que ha realizado contribuciones fundamentales, como las denominadas bases<\/em> cristalinas<\/em> asociadas a los grupos cu\u00e1nticos<\/em>.<\/p>\n

Pero ser\u00eda imposible describir el trabajo de Kashiwara sin mencionar a su m\u00e1s cercano colaborador, Pierre Schapira<\/a>, con quien ha publicado algunas obras de referencia hoy por hoy imprescindibles. Y para concluir, mencionamos el trabajo reciente de Kashiwara y A. D\u2019Agnolo, en el que, tras un verdadero tour de force<\/em>, establecen una correspondencia de Riemann-Hilbert para los D-m\u00f3dulos con singularidades irregulares<\/em>, generalizando el caso de la dimensi\u00f3n 1 demostrado por B. Malgrange<\/a> en 1990.<\/p>\n

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Masaki Kashiwara – Abel Prize Laureate 2025. Photo: Peter Badge\/Typos1\/The Abel Prize<\/figcaption><\/figure>\n

El trabajo de Kashiwara es, ante todo, excepcional, pero ilustra tambi\u00e9n el particular proceso del avance cient\u00edfico en Matem\u00e1ticas que, aun compartiendo muchas caracter\u00edsticas con el de otras disciplinas cient\u00edficas, presenta singularidades notorias. En Matem\u00e1ticas tratamos con objetos que no percibimos con nuestros sentidos, sino con nuestro intelecto. Son por tanto abstractos, pero al mismo tiempo su definici\u00f3n y sus reglas son absolutamente precisas, y su creaci\u00f3n suele inspirarse -directa o indirectamente- en \u201cobjetos reales\u201d. Paralelamente, las Ciencias Naturales, y tambi\u00e9n las Ciencias Sociales, nos han ido mostrando a lo largo de su evoluci\u00f3n que los \u201cobjetos reales\u201d que estudian son a menudo mucho m\u00e1s complejos que lo que indicaba nuestra percepci\u00f3n inicial. Por esta raz\u00f3n, cada vez m\u00e1s, las disciplinas cient\u00edficas necesitan para su desarrollo la plasticidad de las nociones y de las teor\u00edas matem\u00e1ticas; as\u00ed, un electr\u00f3n no es ya una \u201cbolita\u201d de materia que gira alrededor del n\u00facleo del \u00e1tomo, es una funci\u00f3n de onda<\/em>.<\/p>\n

Todo ello es posible gracias al trabajo de los matem\u00e1ticos que mantienen a punto el vasto edificio en el que habitan, cuyos cimientos tienen siglos -incluso milenios-, y de los que, en esta primavera de 2025, Masaki Kashiwara ha sido se\u00f1alado como nuestro representante m\u00e1s distinguido\u2026 hasta la pr\u00f3xima primavera.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El pasado 26 de marzo, la Academia Noruega de Ciencias y Letras hizo p\u00fablico el nombre del ganador del Premio Abel 2025: el Profesor Masaki Kashiwara, del Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) de la Universidad de Kyoto y del Kyoto University Institute for Advanced Study (KUIAS). 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