{"id":23789,"date":"2025-06-17T07:02:31","date_gmt":"2025-06-17T05:02:31","guid":{"rendered":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=23789"},"modified":"2025-06-16T20:09:10","modified_gmt":"2025-06-16T18:09:10","slug":"la-ciencia-de-los-nudos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=23789","title":{"rendered":"La ciencia de los nudos"},"content":{"rendered":"

En ocasiones, para poder entender los avances m\u00e1s significativos en un \u00e1rea de las Matem\u00e1ticas es necesario haber dedicado mucho tiempo y esfuerzo hasta llegar a la comprensi\u00f3n profunda de definiciones, propiedades y teoremas. Sin embargo, hay ramas de las Matem\u00e1ticas con una belleza particular: \u00e1reas en las que los objetos de estudio son visuales e intuitivos, y donde incluso problemas abiertos durante d\u00e9cadas (o siglos) pueden ser apreciados y comprendidos sin necesidad de conocimientos avanzados. Esta entrada est\u00e1 dedicada a una de estas \u00e1reas: la Teor\u00eda de nudos<\/strong>.<\/p>\n

\u00bfQU\u00c9 ES UN NUDO MATEM\u00c1TICO?<\/strong><\/p>\n

Podemos pensar en un nudo matem\u00e1tico como una cuerda anudada cuyos extremos se han pegado. As\u00ed, una vez pegados sus extremos, la cuerda no tiene principio ni fin, y el nudo que hemos hecho en la cuerda no puede deshacerse. En la imagen vemos tres ejemplos de nudos matem\u00e1ticos.<\/p>\n

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Figura 1<\/figcaption><\/figure>\n

Ahora, supongamos que tenemos dos cuerdas, entregamos cada una a una persona, y les pedimos que, de manera independiente, aten la cuerda que se les ha dado de la forma que quieran y, cuando hayan terminado, peguen los extremos de la cuerda. El resultado son dos nudos, que llamamos \\(N_1\\) y \\(N_2\\). El problema que nos planteamos es: \u00bfes posible transformar el nudo \\(N_1\\) (estirando la cuerda, retorci\u00e9ndola, dobl\u00e1ndola\u2026) en el nudo \\(N_2\\) sin necesidad de cortar la cuerda? Si la respuesta es afirmativa, diremos que ambos nudos son equivalentes y, para la Teor\u00eda de nudos, ser\u00e1n indistinguibles. El problema de la clasificaci\u00f3n de nudos consiste en determinar cu\u00e1ndo dos nudos son equivalentes, y es un problema fundamental de la Teor\u00eda de nudos.<\/p>\n

Pero \u00bfde d\u00f3nde viene este inter\u00e9s matem\u00e1tico en la clasificaci\u00f3n de nudos?<\/p>\n

UN POCO DE HISTORIA<\/strong><\/p>\n

El origen de la Teor\u00eda de nudos viene de la mano de la F\u00edsica y la Qu\u00edmica. En el siglo XIX, el f\u00edsico-matem\u00e1tico brit\u00e1nico William Thompson (1824-1907) – m\u00e1s conocido como Lord Kelvin – propuso un modelo at\u00f3mico en el que los \u00e1tomos eran representados por v\u00f3rtices anudados en el \u00e9ter, una sustancia hipot\u00e9tica que llenaba el Universo. Seg\u00fan su modelo, cada nudo estar\u00eda asociado a un tipo de \u00e1tomo distinto, por lo que clasificar nudos equivaldr\u00eda a clasificar tipos de \u00e1tomos, lo que dar\u00eda lugar a una primera tabla peri\u00f3dica de los elementos. Esta idea impuls\u00f3 al matem\u00e1tico Peter Guthrie Tait a trabajar en el an\u00e1lisis de la clasificaci\u00f3n de nudos. Aunque el modelo at\u00f3mico de Kelvin fue refutado, el problema de la clasificaci\u00f3n de nudos qued\u00f3 formulado como problema matem\u00e1tico.<\/p>\n

CLASIFICANDO CURVAS<\/strong><\/p>\n

En lenguaje matem\u00e1tico, un nudo es un embebimiento<\/em> de una circunferencia \\(S^1\\) en el espacio tridimensional \\(\\mathbb{R}^3\\). Es decir, se trata de una curva cerrada simple (esto es, que no se corta a s\u00ed misma) en el espacio de tres dimensiones. Estudiar si, dadas dos curvas cerradas simples en \\(\\mathbb{R}^3\\), es posible deformar una de ellas en la otra es precisamente el problema de la clasificaci\u00f3n de nudos.<\/p>\n

No es dif\u00edcil probar que existen infinitos nudos distintos (no equivalentes), lo que contrasta con lo que sucede al estudiar curvas en espacios de otras dimensiones.<\/p>\n

Por ejemplo, en el plano de dos dimensiones, que llamamos \\(\\mathbb{R}^2\\), cualquier curva cerrada simple puede deformarse de manera continua (es decir, estir\u00e1ndola, retray\u00e9ndola\u2026 sin que se corte a s\u00ed misma) hasta parecerse a otra. Por eso, en el plano todas las curvas son equivalentes o, dicho de otro modo, existe una \u00fanica forma de incrustar una curva cerrada simple en el plano \\(\\mathbb{R}^2\\). Sin embargo, si consideramos el plano y le quitamos un punto P (el plano punteado), la intuici\u00f3n nos dice que no todas las curvas son equivalentes. Tenemos dos familias de curvas cerradas simples: las que rodean el punto P (se llaman esenciales) y las que no, y dentro de cada una de estas dos familias, todas las curvas son equivalentes.<\/p>\n

Podr\u00edamos considerar curvas en otros espacios de dimensi\u00f3n 2: la esfera (donde todas las curvas pueden deformarse hasta tomar la forma del ecuador y, por tanto, son equivalentes), el plano al que quitamos una cantidad finita de puntos, la superficie de un flotador (que llamamos toro)\u2026 Estos casos son bien conocidos en Matem\u00e1ticas (el grupo fundamental<\/a> del espacio juega un papel relevante en este an\u00e1lisis).<\/p>\n

NUDOS Y DIAGRAMAS<\/strong><\/p>\n

Aunque los nudos viven en el espacio de 3 dimensiones, a veces es conveniente representarlos mediante diagramas planos: proyecciones del nudo sobre el plano en las que, en cada cruce, se\u00f1alamos con un trazo discontinuo qu\u00e9 trozo de cuerda est\u00e1 m\u00e1s lejos del foco desde el que se proyecta. En la Figura 2 tenemos tres diagramas que representan los tres nudos de la Figura 1.<\/p>\n

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Figura 2<\/figcaption><\/figure>\n

Observemos que, dado un nudo, podemos elegir distintos focos desde los que proyectar para obtener un diagrama. Adem\u00e1s, podemos deformar el nudo original (obteniendo un nudo equivalente) antes de proyectar, con lo que obtendr\u00edamos un nuevo diagrama que, en esencia, representa el nudo original. As\u00ed, cada nudo puede ser representado por infinitos diagramas.<\/p>\n

El matem\u00e1tico alem\u00e1n Kurt Reidemeister demostr\u00f3 en 1927 que dos diagramas representan el mismo nudo siempre y cuando est\u00e9n relacionados por una sucesi\u00f3n finita de transformaciones, hoy conocidas como movimientos de Reidemeister, que se muestran en la siguiente imagen:<\/p>\n

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Figura 3<\/figcaption><\/figure>\n

Debemos entender cada movimiento de Reidemeister como un cambio en una porci\u00f3n del diagrama que no modifica la parte del diagrama que no aparece en el entorno dibujado. Por ejemplo, los diagramas \\(D_1\\) y \\(D_2\\) de la imagen son equivalentes, pues podemos pasar de uno a otro usando tres movimientos de Reidemeister (uno de cada tipo).<\/p>\n

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Figura 4<\/figcaption><\/figure>\n

El Teorema de Reidemeister da una soluci\u00f3n te\u00f3rica al problema de la equivalencia de diagramas (y, por tanto, de nudos): si encontramos una sucesi\u00f3n finita que conecta dos diagramas, ya sabemos que representan nudos equivalentes. Pero, \u00bfqu\u00e9 sucede si no la encontramos? \u00bfC\u00f3mo podemos estar seguros de que tal sucesi\u00f3n no existe?<\/p>\n

Es en este contexto en el que aparecen los invariantes.<\/p>\n

INVARIANTES DE NUDOS<\/strong><\/p>\n

Los invariantes son herramientas que nos permiten asociar a cada nudo un valor (puede ser un n\u00famero, un polinomio, un grupo, un espacio topol\u00f3gico\u2026) de manera que dos nudos equivalentes tengan asociado el mismo valor. As\u00ed, si dos nudos tienen asociados valores distintos, podemos concluir que ambos nudos son distintos (no equivalentes).<\/p>\n

Un ejemplo de invariante es el \u00edndice poligonal, que corresponde al menor n\u00famero de varillas r\u00edgidas unidas entre s\u00ed que debemos emplear para construir el nudo. En la imagen vemos los \u00edndices poligonales de los primeros 8 nudos en la llamada Tabla de Rolfsen<\/a>.<\/p>\n

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Figura 5<\/figcaption><\/figure>\n

El n\u00famero de cruce de un nudo es otro invariante. Se define como el menor n\u00famero de cruces que tiene un diagrama que represente al nudo. En otras palabras, el n\u00famero de cruce de un nudo es k<\/em> si podemos representarlo con un diagrama con k<\/em> cruces, pero no con menos.<\/p>\n

En general, determinar el n\u00famero de cruce de un nudo no es sencillo. Tait conjetur\u00f3 que los diagramas alternantes (aquellos en los que, al recorrer la curva, vamos pasando alternativamente por encima y por debajo cada vez que encontramos un cruce, como en los diagramas de la Figura 2) y reducidos son minimales para el n\u00famero de cruces de los nudos que representan. Dicho de otro modo, si encontramos un diagrama alternante y reducido que representa un nudo, entonces no existe otro diagrama con menos cruces que lo represente.<\/p>\n

Esta conjetura estuvo abierta, a la espera de una prueba o de un ejemplo que demostrara su falsedad, durante m\u00e1s de 80 a\u00f1os. En 1984 Vaughan Jones introdujo un invariante polin\u00f3mico, conocido como polinomio de Jones, que permiti\u00f3 demostrar la conjetura, \u00a0por lo que su enunciado ya es un teorema. El polinomio de Jones supuso una gran revoluci\u00f3n, no s\u00f3lo en Teor\u00eda de nudos, sino en otras \u00e1reas de las Matem\u00e1ticas y la F\u00edsica, especialmente en Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica y Teor\u00eda Cu\u00e1ntica de Campos. Por ello, Jones fue galardonado con la Medalla Fields, el m\u00e1ximo reconocimiento de la comunidad matem\u00e1tica internacional.<\/p>\n

M\u00c1S ALL\u00c1 DE LA CLASIFICACI\u00d3N DE NUDOS <\/strong><\/p>\n

La Teor\u00eda de nudos tiene implicaciones en otras ramas de las Matem\u00e1ticas: por ejemplo, ayuda a clasificar espacios de dimensiones superiores, tiene una relaci\u00f3n directa con los grupos de trenzas, y aparece frecuentemente en el estudio de singularidades, tambi\u00e9n en Geometr\u00eda Diferencial…<\/p>\n

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Figura 6: Fotograf\u00eda de una cadena de ADN anudada tomada con un microscopio electr\u00f3nico [3].<\/figcaption><\/figure>\n

Adem\u00e1s, como ya mencionamos en el caso de la F\u00edsica, ayuda a resolver problemas en otras \u00e1reas m\u00e1s aplicadas. En Biolog\u00eda Molecular tiene aplicaciones en el estudio del ADN (cuyas cadenas aparecen frecuentemente enrolladas e incluso anudadas, de manera parecida a los cables de los tel\u00e9fonos antiguos) y en el an\u00e1lisis de la acci\u00f3n de las topoisomerasas \u2013 enzimas que manipulan la doble h\u00e9lice de ADN, simplificando la forma en que se enreda.<\/p>\n

Tambi\u00e9n resulta crucial en el estudio de la quiralidad de mol\u00e9culas, as\u00ed como para comprender las propiedades de mol\u00e9culas con igual configuraci\u00f3n pero distintos grafos moleculares, y descubrir c\u00f3mo sintetizarlas; en particular, los trabajos de Jean-Pierre Sauvage sobre este tema le hicieron merecedor del Premio Nobel de Qu\u00edmica en 2016.<\/p>\n

Para m\u00e1s informaci\u00f3n sobre invariantes, curiosidades, y aplicaciones de la Teor\u00eda de nudos, se puede consultar [2].<\/p>\n

Referencias:<\/p>\n

[1] Adams, C. (1994). The Knot Book. <\/em>American Mathematical Society.<\/p>\n

[2] Mulero, J., Segura Abad, L., y Sepulcre Mart\u00ednez, J. M. (2025). Matem\u00e1ticas infinitas. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Alicante. Cap\u00edtulo \u201cNudos, trenzas y otros enredos\u201d, por M. Silvero.<\/p>\n

[3] Wasserman, S., Dungan, J. y Cozzarelli, N. (1985). Discovery of a predicted DNA knot substantiates a model for site-specific recombination. Science 229: pp. 171-174.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En ocasiones, para poder entender los avances m\u00e1s significativos en un \u00e1rea de las Matem\u00e1ticas es necesario haber dedicado mucho tiempo y esfuerzo hasta llegar a la comprensi\u00f3n profunda de definiciones, propiedades y teoremas. 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