{"id":24765,"date":"2026-03-24T07:04:45","date_gmt":"2026-03-24T06:04:45","guid":{"rendered":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=24765"},"modified":"2026-03-28T22:10:52","modified_gmt":"2026-03-28T21:10:52","slug":"riemann-y-el-camino-hacia-la-relatividad-general-i","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=24765","title":{"rendered":"Riemann y el camino hacia la relatividad general, I"},"content":{"rendered":"
\"\"
Riemann en 1863<\/figcaption><\/figure>\n

El 17 de septiembre pr\u00f3ximo se van a cumplir 200 a\u00f1os del nacimiento de uno de los m\u00e1s grandes matem\u00e1ticos de la historia: Bernhard Riemann. Quiz\u00e1 el de m\u00e1s impacto si tenemos en cuenta que muri\u00f3 poco antes de haber cumplido cuarenta a\u00f1os. Parece por tanto oportuno dedicarle un tr\u00edo de entradas a las propuestas geom\u00e9tricas de Riemann, dado que fueron esenciales para que Albert Einstein pudiera varias d\u00e9cadas despu\u00e9s formular su teor\u00eda general de la relatividad. Esta historia de Riemann y la geometr\u00eda sirve adem\u00e1s para mostrar qu\u00e9 aportan a la ciencia las matem\u00e1ticas, esa ciencia que no est\u00e1 claro que sea una ciencia.<\/p>\n

De entrada, para comprender en toda su profundidad qu\u00e9 hizo Riemann con la geometr\u00eda no hay m\u00e1s remedio que hacer algo muy poco habitual en las otras ciencias, pero que no es raro en matem\u00e1ticas: retroceder dos mil trescientos a\u00f1os atr\u00e1s. Porque lo que hizo Riemann fue dar un tratamiento unificado a todas las geometr\u00edas que se hab\u00edan ido construyendo en esos m\u00e1s de dos milenios, desde la venerable geometr\u00eda desarrollada por Euclides en sus c\u00e9lebres Elementos<\/em>, hasta las geometr\u00edas no eucl\u00eddeas descubiertas y estudiadas por los matem\u00e1ticos (para desesperaci\u00f3n e incluso repugnancia de bastantes f\u00edsicos y fil\u00f3sofos) durante la primera mitad del siglo XIX.<\/p>\n

Para calibrar la influencia e importancia de los Elementos<\/em> que Euclides compuso en el siglo III antes de nuestra era, basta decir que es uno de los libros m\u00e1s editados desde el desarrollo de la imprenta. Adem\u00e1s, por supuesto, de situar a la geometr\u00eda eucl\u00eddea como modelo de disciplina y rigor matem\u00e1tico.<\/p>\n

Ya en el siglo XVII, l<\/span>os Principia<\/em> de Newton situaron a la geometr\u00eda eucl\u00eddea del espacio como el modelo de espacio absoluto donde ten\u00edan lugar todos los acontecimientos del mundo f\u00edsico que nos rodea. Eso benefici\u00f3 tanto a la f\u00edsica newtoniano, que adquiri\u00f3 el prestigio que arrastraba la geometr\u00eda eucl\u00eddea desde su formulaci\u00f3n dos mil a\u00f1os antes, como a la propia geometr\u00eda eucl\u00eddea, que sum\u00f3 a su solidez l\u00f3gica un plus de veracidad al representar la realidad f\u00edsica subyacente. Esta veracidad y fiabilidad de la geometr\u00eda eucl\u00eddea acab\u00f3 teniendo, adem\u00e1s, el aval de la filosof\u00eda, pues este dise\u00f1o eucl\u00eddeo del mundo fue bendecido por fil\u00f3sofos tan diferentes como T. Hobbes (1588-1679), J. Locke (1632-1704) o G. Leibniz (1646-1716), aunque no por David Hume (1711-1776) \u2013en quien, por cierto, encontr\u00f3 inspiraci\u00f3n Einstein antes de desarrollar la teor\u00eda especial de la relatividad\u2013. M\u00e1s todav\u00eda, Immanuel Kant (1724-1804), el m\u00e1s influyente fil\u00f3sofo del siglo XVIII, estableci\u00f3 en su Cr\u00edtica de la raz\u00f3n pura<\/em> que el espacio eucl\u00eddeo era la forma de organizaci\u00f3n espacial preexistente en nuestra mente, y por tanto el conocimiento que de \u00e9l tenemos es previo a nuestra experiencia del mundo; adaptamos pues nuestra experiencia del espacio f\u00edsico al molde eucl\u00eddeo, y, puesto que se deja adaptar, debe de ser porque ese espacio es eucl\u00eddeo.<\/p>\n

\"\"Pero, a pesar de todo este consenso sobre su solidez, la geometr\u00eda eucl\u00eddea ten\u00eda un lunar: el postulado de las paralelas. Y no es que se dudase de su certeza, sino que se le consideraba demasiado complicado, especialmente cuando se le comparaba con la evidencia inmediata que caracteriza a los otros cuatro postulados. Tal y como lo formul\u00f3 Euclides, el postulado de las paralelas afirma: \u00abSi una recta, al incidir sobre dos rectas, hace los \u00e1ngulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrar\u00e1n en el lado en el que est\u00e1n los \u00e1ngulos menores que dos rectos\u00bb.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 hacer, pues, con el postulado de las paralelas? Casi desde su nacimiento se barajaron dos opciones: bien demostrarlo usando los otros axiomas, de manera que quedara incorporado a la geometr\u00eda como teorema; bien dar con otro axioma, de cuya evidencia inmediata nadie pudiera dudar, y que implique el de las paralelas. Precisamente, el postulado se llama de las paralelas, aunque no aparecen en la formulaci\u00f3n de Euclides, porque equivale a afirmar que, por un punto que no est\u00e1 en una recta, se puede trazar una y s\u00f3lo una recta paralela a la dada \u2013algo ya conocido por Ptolomeo en el siglo II de nuestra era, y posiblemente mucho antes\u2013.<\/p>\n

A lo largo de los siglos no fueron pocos ni poco importantes los matem\u00e1ticos que se dedicaron a buscar equivalencias para el postulado; por ejemplo, tal hicieron A.M. Legendre (que mostr\u00f3 la equivalencia del postulado de las paralelas con el hecho de que los \u00e1ngulos de cualquier tri\u00e1ngulo sumen dos rectos) e, incluso, el admirado C.F. Gauss \u2013que, como veremos m\u00e1s adelante, hizo mucho m\u00e1s que eso en relaci\u00f3n con el postulado de las paralelas\u2013. Este esfuerzo fue poco comprendido por parte de otros cient\u00edficos, que no ve\u00edan ninguna necesidad de dedicar ni tiempo ni energ\u00edas a estos caprichos de matem\u00e1ticos<\/em>. Bien es verdad que no se consigui\u00f3 otra cosa que un largu\u00edsimo listado de equivalencias del postulado ninguna de las cuales se acercaba siquiera a la categor\u00eda de verdad autoevidente.<\/p>\n

Otros matem\u00e1ticos, sin embargo, optaron por hacer otra cosa, que fue considerada igualmente in\u00fatil por los ajenos al gremio de Pit\u00e1goras, pero que tuvo luego consecuencias fundamentales para la ciencia. Se trata de la numerosa cohorte de matem\u00e1ticos que se propusieron demostrar el postulado usando el resto de axiomas eucl\u00eddeos. Aqu\u00ed tambi\u00e9n se hicieron grandes esfuerzos, sin \u00e9xito aparente, por m\u00e1s que algunos contendientes se autoproclamaran ganadores del reto y publicaran libros con t\u00edtulos tan inequ\u00edvocos como: Euclides vindicado de todo reproche<\/em>.<\/p>\n

Para esc\u00e1ndalo de muchos, a finales del siglo XVIII algunos matem\u00e1ticos empezaron a pensar que determinadas negaciones del postulado de las paralelas pod\u00edan llevar a geometr\u00edas s\u00f3lidas desde el punto de vista l\u00f3gico, aunque extra\u00f1as y posiblemente incompatibles con la realidad. Es el caso de J. Lambert (1728-1777), F. Schweikart (1780-1859) o, su sobrino, F. Taurinus (1794-1874).<\/p>\n

Como se ve, la fruta estaba madura, y pronto un tropel de recolectores se aprestaron a cosecharla. Entre ellos estaba Gauss<\/span>, nada m\u00e1s y nada menos.<\/span><\/p>\n

\"\"
C.F. Gauss<\/figcaption><\/figure>\n

Pocos detalles sabemos de las investigaciones de Gauss sobre geometr\u00eda no eucl\u00eddea, porque nunca public\u00f3 nada y ha sido poco lo que se encontr\u00f3 entre sus manuscritos y notas privadas. Fue muy discreto con ese asunto, y s\u00f3lo lo coment\u00f3 en cartas a amigos; en 1829 le escribi\u00f3 a Bessel que no publicar\u00eda nada porque \u00abtem\u00eda el clamor de los beocios\u00bb \u2013que eran originarios de Beocia, una regi\u00f3n de la antigua Grecia cuyos habitantes ten\u00edan entre los atenienses fama de est\u00fapidos\u2013. Lo cierto es que a Gauss sus conclusiones le parec\u00edan demasiado revolucionarias, no s\u00f3lo desde el punto de vista matem\u00e1tico, sino tambi\u00e9n del f\u00edsico y del filos\u00f3fico, e iban en contra de las, por entonces, intocables doctrinas de Kant.<\/p>\n

Gauss estaba convencido de la independencia del postulado de las paralelas con respecto a los otros axiomas eucl\u00eddeos, y de que sus negaciones generaban geometr\u00edas l\u00f3gicamente coherentes. Pero, todav\u00eda m\u00e1s, no ve\u00eda ninguna raz\u00f3n por la que alguna de esas geometr\u00edas no eucl\u00eddeas no fuera la que corresponde a nuestro mundo f\u00edsico; contraviniendo a Kant y a Newton, Gauss pensaba que para determinar esa fundamental cuesti\u00f3n cient\u00edfica hab\u00eda que recurrir al experimento. Se sabe, de hecho, que aprovechando sus habilidades topogr\u00e1ficas trat\u00f3 de medir los \u00e1ngulos de un gigantesco tri\u00e1ngulo formado por tres monta\u00f1as \u2013cuyos lados ten\u00edan 69, 85 y 197 quil\u00f3metros\u2013; hall\u00f3 que la suma superaba los dos rectos, pero por una cantidad tan peque\u00f1a que entraba de sobra en los errores achacables al proceso de medida.<\/p>\n

Finalmente fueron\u00a0el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) en 1829 y<\/span>\u00a0<\/span>el h\u00fangaro J\u00e1nos Bolyai (1802-1860) en 1832 quienes publicaron los primeros trabajos sobre geometr\u00edas que contraven\u00edan el postulado de las paralelas. <\/span>Los resultados de Lobachevski y Bolyai fueron muy parecidos y, presumiblemente, tambi\u00e9n a los de Gauss. Todos ellos supon\u00edan que hay infinitas rectas por un punto que son paralelas a una recta que no contiene al punto; a partir de lo cual demostraron multitud de resultados, raros pero aparentemente coherentes para este plano no eucl\u00eddeo. Poco despu\u00e9s aparecieron otras geometr\u00edas donde, por ejemplo, no hay rectas paralelas \u2013es lo que pasa, por ejemplo, en la geometr\u00eda de la superficie esf\u00e9rica\u2013.<\/span><\/p>\n

Al igual que Gauss, Lobachevski y Bolyai pensaban que su geometr\u00eda podr\u00eda corresponder a la del mundo f\u00edsico, lo que tendr\u00eda que ser determinado experimentalmente. Esto era demasiado para la comunidad cient\u00edfica de la \u00e9poca \u2013muy influenciada por Kant y, obviamente, por Newton\u2013, m\u00e1s todav\u00eda teniendo en cuenta la modestia matem\u00e1tica de los padres de la criatura \u2013la opini\u00f3n de Gauss no era p\u00fablica\u2013. Como consecuencia, los trabajos de Lobachevski y Bolyai pasaron sin pena ni gloria. Naturalmente, la solidez que entonces demostraba la f\u00edsica de Newton y lo esot\u00e9rico de las geometr\u00edas no eucl\u00eddeas, hicieron que ese tema de estudiar geometr\u00edas aparentemente incompatibles con la realidad fuera considerado por otros cient\u00edficos un absurdo capricho de matem\u00e1ticos: \u00a1c\u00f3mo tomar en serio a una troupe<\/em> que se empe\u00f1a en construir y estudiar geometr\u00edas distintas de la eucl\u00eddea, cuando Newton y Kant dicen que es esa la que corresponde con la realidad f\u00edsica!<\/p>\n

Tan solo cuando tras la muerte de Gauss se public\u00f3 su correspondencia, y se tuvo disponible la potent\u00edsima geometr\u00eda que Riemann hab\u00eda desarrollado a rebufo de la geometr\u00eda diferencial de Gauss para superficies,<\/p>\n

los matem\u00e1ticos comprendieron, no sin cierto horror, que la venerada geometr\u00eda de Euclides no era sino una de muchas otras posibles. Y pocos, muy pocos, entre los que se encontraba el propio Riemann, imaginaron entonces la posibilidad de que Newton, Kant y todos sus seguidores se equivocaran porque, a fin de cuentas, la realidad f\u00edsica iba a acabar siendo no eucl\u00eddea. Pero no solo esto, estos caprichos matem\u00e1ticos permitieron que Gauss, Riemann y sus seguidores, desarrollaran el imprescindible aparato matem\u00e1tico que despu\u00e9s necesit\u00f3 Einstein para concretar sus teor\u00edas f\u00edsicas en un modelo matem\u00e1tico que permitiera su estudio. Como veremos m\u00e1s adelante, sin las ideas de Riemann ni ese aparato matem\u00e1tico previo, Einstein no habr\u00eda podido siquiera esbozar sus ideas; como \u00e9l mismo reconoci\u00f3: \u00abla teor\u00eda general de la relatividad quiz\u00e1 se habr\u00eda quedado en pa\u00f1ales\u00bb.\u00a0\u00a0<\/p>\n

Para entender la propuesta de Riemann y por qu\u00e9 fue esencial para que Einstein pudiera formular su teor\u00eda de la relatividad general, hay que decir algo m\u00e1s sobre uno de las m\u00e1s profundas y f\u00e9rtiles ideas matem\u00e1tica de Gauss: la geometr\u00eda intr\u00ednseca de superficies.<\/p>\n

Hasta principios del siglo XIX, una superficie era vista y estudiada desde fuera, como un objeto de dos dimensiones inmerso en el espacio tridimensional eucl\u00eddeo, como la envoltura de un s\u00f3lido; esa es, precisamente, la primera acepci\u00f3n de la palabra \u00absuperficie\u00bb seg\u00fan el diccionario de la RAE: \u00abL\u00edmite o t\u00e9rmino de un cuerpo, que lo separa y distingue de lo que no es \u00e9l\u00bb. Pi\u00e9nsese, por ejemplo, en una superficie esf\u00e9rica como l\u00edmite de una esfera.<\/p>\n

\"\"Asociado a un punto de la superficie est\u00e1 el plano tangente y el vector normal, que determina la direcci\u00f3n perpendicular al plano tangente. El plano tangente casi se identifica con la superficie en el punto de contacto, mientras que el vector normal, por el contrario, se proyecta perpendicularmente fuera de la superficie, y certifica as\u00ed la existencia del espacio tridimensional que acoge a la superficie, y desde el que nosotros la observamos y la estudiamos.<\/p>\n

Gauss vino a cambiar esa situaci\u00f3n en 1827 con la publicaci\u00f3n de una de sus grandes obras: Disquisitiones generales circa superficies curvas<\/em>.<\/p>\n

Lo que propuso Gauss fue una visi\u00f3n de la superficie desde dentro, intr\u00ednseca, como si fu\u00e9ramos seres de dos dimensiones viviendo sobre ella. Esto quiere decir que nos podemos desplazar por ella combinando \u00fanicamente dos direcciones: arriba\/abajo e izquierda\/derecha, y cualquier otra direcci\u00f3n independiente de esas dos nos es desconocida; en particular, la del vector normal \u2013pues esta se proyecta fuera de la superficie\u2013. Al desplazarnos por una superficie podemos tambi\u00e9n medir distancias sobre ella. Gauss estaba interesado en estudiar propiedades intr\u00ednsecas de la superficie, o sea, y dicho de forma muy simplificada, propiedades geom\u00e9tricas de la superficie que pudieran determinarse con la \u00fanica informaci\u00f3n que proporciona vivir sobre ella sin necesidad de mirarla desde fuera \u2013renunciando, por lo tanto, al vector normal, que al ser perpendicular a la superficie necesita una dimensi\u00f3n que es ajena a los habitantes de la superficie\u2013. Los resultados de Gauss mostraron que hay informaci\u00f3n esencial de la superficie que, a pesar de necesitar el vector normal para su definici\u00f3n, pod\u00eda calcularse y conocerse de forma intr\u00ednseca \u2013renunciando, por tanto, al vector normal\u2013.\u00a0<\/p>\n

Curiosamente, la inspiraci\u00f3n para sus teor\u00edas le lleg\u00f3 a Gauss mientras recorr\u00eda a lomos de mulas la regi\u00f3n de Hannover haciendo estudios geod\u00e9sicos; pero le lleg\u00f3 despacio, sin prisas, en peque\u00f1as dosis que fue recibiendo durante los diez largos veranos que dedic\u00f3 a sus mediciones geod\u00e9sicas. Fue ese cuidadoso medir distancias en el suave paisaje ondulado de la Baja Sajonia el que le convenci\u00f3 de que ah\u00ed se escond\u00edan jugosos secretos de la geometr\u00eda de superficies.<\/p>\n

La forma t\u00edpica en que una superficie se maneja de forma intr\u00ednseca es la llamada primera forma fundamental, que indica c\u00f3mo se pueden medir distancias sobre la superficie; de forma m\u00e1s precisa la primera forma fundamental describe el elemento de arco sobre la superficie en la forma<\/p>\n

$$ds^2=E(x,y)dx^2+2F(x,y)dxdy+G(x,y)dy^2,$$<\/p>\n

Donde \\(E, F, G\\) son funciones de las coordenadas \\((x,y)\\) que necesita un punto para ser localizado sobre la superficie. La venerable geometr\u00eda eucl\u00eddea del plano se corresponder\u00eda con el caso m\u00e1s sencillo:<\/p>\n

$$ds^2= dx^2+ dy^2,$$<\/p>\n

que viene a decir que para medir distancias en el plano usamos el teorema de Pit\u00e1goras. La m\u00e1s complicada geometr\u00eda de la superficie esf\u00e9rica corresponde con el elemento de arco<\/p>\n

$$ds^2={\\rm s}{\\rm e}{\\rm n}(x) dx^2+dy^2.$$<\/p>\n

Gauss defini\u00f3 entonces la curvatura (total) de una superficie en un punto, que viene a ser una medida de lo que difiere en ese punto la superficie de ser un plano, para lo cual no tuvo m\u00e1s remedio que usar el vector normal a la superficie. A pesar de lo cual, Gauss acab\u00f3 demostrando que la curvatura es una propiedad intr\u00ednseca de la superficie que podr\u00edan calcular los habitantes que viven sobre ella \u2013a pesar de no poder percibir la dimensi\u00f3n en la que se proyecta el vector normal\u2013. Gauss encontr\u00f3 este resultado tan impresionante que lo calific\u00f3 como Theorema Egregium<\/em>. El teorema egregio de Gauss, en particular, implica que los habitantes de una superficie, aunque no perciban la tercera dimensi\u00f3n, pueden descubrir si la necesitan para existir. Por ejemplo, los habitantes de una superficie esf\u00e9rica de radio \\(r\\) podr\u00edan saber que su universo tiene curvatura constante igual a \\(1\/r^2\\), y por lo tanto aunque ellos s\u00f3lo sean conscientes de sus dos dimensiones sabr\u00edan que una tercera es necesaria para su existencia, ya que al ser el valor de la curvatura distinto de cero, no pod\u00edan estar viviendo en un plano. Extrapolando a nuestro universo, aunque nosotros s\u00f3lo seamos conscientes de tres dimensiones, podr\u00edamos llegar a saber si necesitamos de m\u00e1s dimensiones para poder existir.<\/p>\n

En 1854, Riemann hizo una propuesta unificadora de todas las geometr\u00edas conocidas hasta entonces, para lo cual llev\u00f3 mucho m\u00e1s lejos las ideas de Gauss, pero eso lo trataremos en la siguiente entrada.<\/p>\n

 <\/p>\n

Referencias<\/p>\n

Antonio J. Dur\u00e1n,\u00a0Cr\u00f3nicas matem\u00e1ticas<\/em>, Cr\u00edtica, Barcelona, 2018.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

El 17 de septiembre pr\u00f3ximo se van a cumplir 200 a\u00f1os del nacimiento de uno de los m\u00e1s grandes matem\u00e1ticos de la historia: Bernhard Riemann. Quiz\u00e1 el de m\u00e1s impacto si tenemos en cuenta que muri\u00f3 poco antes de haber cumplido cuarenta a\u00f1os. Parece por tanto oportuno dedicarle un tr\u00edo de entradas a las propuestas […]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":24769,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"default","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"set","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[2802],"tags":[],"ppma_author":[2815],"class_list":["post-24765","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-mathema"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN.png","uagb_featured_image_src":{"full":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN.png",1536,1024,false],"thumbnail":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN-150x150.png",150,150,true],"medium":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN-300x200.png",300,200,true],"medium_large":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN-768x512.png",768,512,true],"large":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN-1024x683.png",1024,683,true],"1536x1536":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN.png",1536,1024,false],"2048x2048":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN.png",1536,1024,false],"bdpp-medium":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/02\/superficiePTyVN-640x480.png",640,480,true]},"uagb_author_info":{"display_name":"Antonio J. Dur\u00e1n","author_link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?author=6"},"uagb_comment_info":2,"uagb_excerpt":"El 17 de septiembre pr\u00f3ximo se van a cumplir 200 a\u00f1os del nacimiento de uno de los m\u00e1s grandes matem\u00e1ticos de la historia: Bernhard Riemann. Quiz\u00e1 el de m\u00e1s impacto si tenemos en cuenta que muri\u00f3 poco antes de haber cumplido cuarenta a\u00f1os. Parece por tanto oportuno dedicarle un tr\u00edo de entradas a las propuestas…","jetpack_sharing_enabled":true,"authors":[{"term_id":2815,"user_id":6,"is_guest":0,"slug":"duran","display_name":"Antonio J. Dur\u00e1n","avatar_url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/d27bf41310dc6d54824526a40eb3675e1a357683d647e2152a75c1c31e36ce79?s=96&d=mm&r=g","0":null,"1":"","2":"","3":"","4":"","5":"","6":"","7":"","8":""}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/24765","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=24765"}],"version-history":[{"count":24,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/24765\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":24965,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/24765\/revisions\/24965"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/24769"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=24765"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=24765"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=24765"},{"taxonomy":"author","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fppma_author&post=24765"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}