{"id":24777,"date":"2026-04-30T07:05:00","date_gmt":"2026-04-30T05:05:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=24777"},"modified":"2026-04-22T13:29:17","modified_gmt":"2026-04-22T11:29:17","slug":"riemann-y-el-camino-hacia-la-relatividad-general-ii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=24777","title":{"rendered":"Riemann y el camino hacia la relatividad general, II"},"content":{"rendered":"
\"\"
Riemann en 1863<\/figcaption><\/figure>\n

En 1854, casi tres d\u00e9cadas despu\u00e9s de que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicara su obra cumbre sobre geometr\u00eda diferencial de superficies (v\u00e9ase Las otras Disquisitiones de Gauss<\/a>), se iba a incorporar a la Universidad de Gotinga un nuevo privatdozent<\/em> \u2013una especie de profesor ayudante sin sueldo, s\u00f3lo lo que voluntariamente le quisieran pagar los alumnos\u2013. Atend\u00eda al nombre de Bernhard Riemann (1826-1866). Como se ve, y dec\u00eda en la primera parte de esta entrada Riemann y el camino hacia la relatividad general, I<\/a>, se cumplen este a\u00f1o 200 a\u00f1os de su nacimiento, el 17 de septiembre para ser precisos.<\/p>\n

Para acceder al puesto de privatdozent<\/em>, el candidato ten\u00eda que presentar una tesis de habilitaci\u00f3n e impartir una lecci\u00f3n inaugural. Para la lecci\u00f3n inaugural, Riemann present\u00f3 tres posibles temas; lo habitual era que se hubiera elegido el primero de ellos o, en todo caso, el segundo, pero Gauss, que era quien eleg\u00eda, prefiri\u00f3 el tercero de los propuestos, que llevaba el t\u00edtulo Sobre las hip\u00f3tesis que forman los fundamentos de la geometr\u00eda<\/em>. Como coment\u00e9 en la anterior entrada, en ese trabajo Riemann propuso un marco unificado para todas las geometr\u00edas conocidas hasta entonces, la eucl\u00eddea y las muchas no eucl\u00eddeas descubiertas a lo largo de la primera mitad del siglo XIX. Y ese marco fue esencial para que Einstein pudiera formular seis d\u00e9cadas despu\u00e9s su teor\u00eda general de la relatividad.\u00a0<\/p>\n

Gauss conoc\u00eda bien a Riemann \u2013hab\u00eda supervisado su tesis doctoral en 1851\u2013, lo ten\u00eda en alta estima, y no pudo resistirse a saber qu\u00e9 ten\u00eda que decir aquel joven sobre geometr\u00eda. El que Gauss eligiera el tercero de los temas que hab\u00eda propuesto, el que ten\u00eda menos preparado, le cre\u00f3 cierta angustia al candidato; claro que causarle angustia a Riemann no parec\u00eda algo complicado.<\/p>\n

Riemann naci\u00f3 el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, Hannover. Fue el segundo de los seis hijos de un pastor protestante; se acostumbr\u00f3 cada d\u00eda a examinar su conciencia \u00abante la mirada de Dios\u00bb, y, sobrepasada la treintena, contempl\u00f3 la posibilidad de escribir una obra filos\u00f3fica, con base matem\u00e1tica y posiblemente f\u00edsica, sobre la correcci\u00f3n de la historia b\u00edblica de la creaci\u00f3n y otros mitos cristianos \u2013no lo lleg\u00f3 a hacer, aunque s\u00ed escribi\u00f3 filosof\u00eda en la que se pueden encontrar residuos de esas ideas\u2013. Riemann tuvo un car\u00e1cter retra\u00eddo, melanc\u00f3lico, modesto, y con tendencias hipocondr\u00edacas y depresivas. \u00abHay que hacer todo lo posible para arrancar a un hombre tan excelente y cient\u00edficamente tan importante como Riemann de su estado actual, realmente infeliz \u2013escribi\u00f3 Dedekind a su familia, con motivo de haberle cedido a Riemann una casa en las monta\u00f1as del Harz para que se recuperara del agotamiento y colapso que le produjo acabar sus estudios sobre funciones abelianas\u2013; pero no debe percibir dicho objetivo con claridad; siempre ha sido dif\u00edcil hacerle un favor, y s\u00f3lo es posible conseguir que acepte alguna amabilidad cuando consigue uno convencerle de que lo hace tanto en inter\u00e9s propio como en el suyo; odia causar molestias a otras personas\u00bb.<\/p>\n

Salvo los seis \u00faltimos a\u00f1os de su corta vida, Riemann sufri\u00f3 dificultades y penurias econ\u00f3micas. A pesar de la pobreza de su familia, inici\u00f3 estudios de teolog\u00eda en la Universidad de Gotinga que, de haberlos terminado, le hubieran garantizado acceso r\u00e1pido a un sueldo como pastor; pero las matem\u00e1ticas se cruzaron en su camino y la verdadera vocaci\u00f3n pudo m\u00e1s. Tras estudiar un tiempo con Gauss, Riemann pas\u00f3 a la Universidad de Berl\u00edn \u2013la mejor, por entonces, de Alemania\u2013, donde tuvo como profesores a toda una constelaci\u00f3n de figuras matem\u00e1ticas: C.G. Jacobi (1804-1851), P.G. Dirichlet (1805-1859), J. Steiner (1796-1863) y G. Eisenstein (1823-1852). Volvi\u00f3 a Gotinga en 1850; all\u00ed defendi\u00f3 en 1851 su tesis doctoral bajo la supervisi\u00f3n, probablemente nominal, de Gauss, y consigui\u00f3 un puesto de privatdozent <\/em>en 1854. La situaci\u00f3n econ\u00f3mica de Riemann fue de paup\u00e9rrima a lo directamente miserable, especialmente cuando, tras la muerte de un hermano y una hermana \u2013en 1858\u2013, se tuvo que hacer cargo de la familia; todo lo cual lo acab\u00f3 sumiendo en una profunda depresi\u00f3n.<\/p>\n

\"\"
L\u00e1pida de Riemann en Biganzolo en Piamonte, Italia.<\/figcaption><\/figure>\n

Gauss muri\u00f3 en 1855 y su puesto fue ocupado por Dirichlet, que muri\u00f3 a su vez cuatro a\u00f1os despu\u00e9s, lo que permiti\u00f3 a Riemann ser catedr\u00e1tico con tan solo 33 a\u00f1os. La consiguiente mejora de su situaci\u00f3n econ\u00f3mica se reforz\u00f3 en lo personal tres a\u00f1os despu\u00e9s, cuando contrajo matrimonio con la amiga de una de sus hermanas \u2013la fama de retra\u00eddo que Riemann ten\u00eda en el trato con las mujeres hace probable que su hermana ejerciera como celestina\u2013. Pero las penalidades sufridas en las d\u00e9cadas anteriores acabaron pasando factura, y Riemann enferm\u00f3 de tuberculosis. Los siguientes a\u00f1os pas\u00f3 temporadas largas en Italia, donde su salud se recuper\u00f3 algo. All\u00ed trab\u00f3 amistad con Enrico Betti (1823-1892), Eugenio Beltrami (1835-1900) y otros matem\u00e1ticos italianos. La tuberculosis, sin embargo, fue una condena a muerte, que le alcanz\u00f3 junto al lago Maggiore en junio de 1866, cuando se dirig\u00eda de nuevo a Italia.<\/p>\n

Pero volvamos a 1854, y al momento en que Gauss eligi\u00f3 el tercero de los temas que Riemann hab\u00eda propuesto para su lecci\u00f3n inaugural como privatdozent. <\/em>El asunto angusti\u00f3 a Riemann; por un lado hab\u00eda preparado los dos primeros y esbozado s\u00f3lo el tercero, pensando que Gauss seguir\u00eda la tradici\u00f3n de elegir uno de esos; por otro, esos d\u00edas andaba enfrascado en estudios sobre f\u00edsica, y le cost\u00f3 trabajo concentrarse y preparar su lecci\u00f3n sobre geometr\u00eda. Pero al final lo hizo, y lo hizo de manera magistral; de lo acontecido en la lecci\u00f3n tenemos el relato detallado que hizo Dedekind: \u00abRiemann complic\u00f3 de un modo esencial la preparaci\u00f3n de su lecci\u00f3n sobre las hip\u00f3tesis de la geometr\u00eda, debido a su esfuerzo por resultar tan f\u00e1cil de comprender como fuera posible a todos, incluyendo los miembros de la Facultad no versados en matem\u00e1ticas; con ello, empero, el tratado se convirti\u00f3 en una admirable obra maestra tambi\u00e9n en lo tocante a exposici\u00f3n, pues, sin comunicar la investigaci\u00f3n anal\u00edtica, indica con tanta precisi\u00f3n el camino seguido por la misma, que es posible rehacerla completamente siguiendo dichas prescripciones. Contra la costumbre habitual, Gauss no hab\u00eda elegido el primero de los tres temas propuestos, sino el tercero, ya que estaba deseando escuchar c\u00f3mo un hombre tan joven podr\u00eda tratar un tema tan dif\u00edcil; la lecci\u00f3n, que super\u00f3 todas sus expectativas, le dej\u00f3 completamente asombrado, y a la vuelta de la sesi\u00f3n de Facultad le habl\u00f3 a Wilhelm Weber de la profundidad de los pensamientos expuestos por Riemann con el mayor reconocimiento y con una excitaci\u00f3n rara en \u00e9l\u00bb.<\/p>\n

Riemann ampli\u00f3 y detall\u00f3 sus propuestas sobre la geometr\u00eda en 1861, en un trabajo sobre conducci\u00f3n del calor que present\u00f3 a un premio de la Acad\u00e9mie<\/em> de Par\u00eds. Pero sus ideas tardaron en diseminarse, porque su lecci\u00f3n inaugural no se public\u00f3 hasta 1868, dos a\u00f1os despu\u00e9s de su muerte, y, al no ganar el premio de la Acad\u00e9mie, <\/em>el trabajo presentado qued\u00f3 in\u00e9dito y no se public\u00f3 hasta 1876 \u2013cuando se editaron sus obras completas\u2013.<\/p>\n

Riemann propuso las variedades n<\/em>-dimensionales como el objeto de estudio de la geometr\u00eda. Pas\u00f3 pues de las dos dimensiones de las superficies de Gauss a un n\u00famero cualquiera de dimensiones. De una variedad de dimensi\u00f3n n<\/em> conocemos que cada punto viene dado por n<\/em> coordenadas \\(x_1,\\dots, x_n\\), y la forma de medir distancias entre sus puntos, definida por el elemento de longitud de arco<\/p>\n

$$ds^2=\\sum_{i,j=1}^ng_{i,j}dx_idx_j,$$<\/p>\n

donde \\(g_{i,j}\\)\u00a0son funciones de las coordenadas. El espacio eucl\u00eddeo corresponde con el caso n=3<\/em> y \\(g_{i,j}=1\\), si \\(i=j\\), \\(g_{i,j}=0\\), si \\(i\\not=j\\), y la geometr\u00eda diferencial de Gauss ser\u00eda el caso particular cuando n=2.<\/em> Pero Riemann, a diferencia de Gauss, distingui\u00f3 entre la variedad y las m\u00e9tricas \\(ds^2\\) que se pudieran establecer sobre ella; la variedad ser\u00eda para Riemann un concepto topol\u00f3gico que adquirir\u00eda caracter\u00edsticas propiamente geom\u00e9tricas al ser dotado de una m\u00e9trica.<\/p>\n

Riemann extendi\u00f3 el concepto de curvatura de Gauss para variedades n<\/em>-dimensionales, asociando a cada punto de la variedad infinitas superficies bidimensionales generadas por ciertas geod\u00e9sicas que pasan por el punto. Cada una de esas superficies bidimensionales tiene una curvatura gaussiana, que pueden ser generadas por \\(n(n-1)\/2\\)\u00a0 de esas curvaturas, si la variedad tiene dimensi\u00f3n n<\/em>. La curvatura pas\u00f3 as\u00ed a ser un conjunto de n\u00fameros \u2013un tensor, si queremos ser m\u00e1s precisos con la estructura de este conjunto de n\u00fameros\u2013 en vez del valor \u00fanico de la curvatura gaussiana. Pero, al igual que ocurre con las superficies bidimensionales, el tensor de curvatura es una caracter\u00edstica intr\u00ednseca de la variedad \u2013s\u00f3lo depende de las funciones \\(g_{i,j}\\)\u2013.<\/p>\n

Eugenio Beltrami, a quien Riemann hab\u00eda tratado en Italia, y Elwin Christoffel (1829-1900) fueron los primeros en continuar los estudios de Riemann. Despu\u00e9s siguieron muchos otros, entre los que hay que destacar a los italianos Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) y su disc\u00edpulo Tulio Levi-Civita (1873-1941), que desarrollaron lo que hoy en d\u00eda se conoce como c\u00e1lculo o an\u00e1lisis tensorial. Inicialmente, ese an\u00e1lisis fue llamado c\u00e1lculo diferencial absoluto porque, a diferencia del habitual c\u00e1lculo diferencial, el c\u00e1lculo tensorial provee herramientas que son independientes de la elecci\u00f3n de coordenadas y, por tanto, permiten estudiar los invariantes diferenciales de la geometr\u00eda riemanniana.<\/p>\n

Como contar\u00e9 en la tercera y \u00faltima parte de esta entrada, los planteamientos geom\u00e9tricos de Riemann, junto con las herramientas del an\u00e1lisis tensorial, fueron esenciales para la formulaci\u00f3n de la relatividad general de Einstein.<\/p>\n

Referencias:<\/p>\n

Antonio J. Dur\u00e1n,\u00a0Cr\u00f3nicas matem\u00e1ticas<\/em>, Cr\u00edtica, Barcelona, 2018.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

En 1854, casi tres d\u00e9cadas despu\u00e9s de que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicara su obra cumbre sobre geometr\u00eda diferencial de superficies (v\u00e9ase Las otras Disquisitiones de Gauss), se iba a incorporar a la Universidad de Gotinga un nuevo privatdozent \u2013una especie de profesor ayudante sin sueldo, s\u00f3lo lo que voluntariamente le quisieran pagar los alumnos\u2013. […]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":24942,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"default","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"set","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[2802],"tags":[],"ppma_author":[2815],"class_list":["post-24777","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-mathema"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns.jpg","uagb_featured_image_src":{"full":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns.jpg",1156,781,false],"thumbnail":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns-150x150.jpg",150,150,true],"medium":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns-300x203.jpg",300,203,true],"medium_large":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns-768x519.jpg",768,519,true],"large":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns-1024x692.jpg",1024,692,true],"1536x1536":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns.jpg",1156,781,false],"2048x2048":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns.jpg",1156,781,false],"bdpp-medium":["https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/03\/riemanns-640x480.jpg",640,480,true]},"uagb_author_info":{"display_name":"Antonio J. Dur\u00e1n","author_link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?author=6"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"En 1854, casi tres d\u00e9cadas despu\u00e9s de que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicara su obra cumbre sobre geometr\u00eda diferencial de superficies (v\u00e9ase Las otras Disquisitiones de Gauss), se iba a incorporar a la Universidad de Gotinga un nuevo privatdozent \u2013una especie de profesor ayudante sin sueldo, s\u00f3lo lo que voluntariamente le quisieran pagar los alumnos\u2013.…","jetpack_sharing_enabled":true,"authors":[{"term_id":2815,"user_id":6,"is_guest":0,"slug":"duran","display_name":"Antonio J. Dur\u00e1n","avatar_url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/d27bf41310dc6d54824526a40eb3675e1a357683d647e2152a75c1c31e36ce79?s=96&d=mm&r=g","author_category":"","first_name":"Antonio J.","last_name":"Dur\u00e1n","user_url":"","job_title":"","description":""}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/24777","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=24777"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/24777\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":25003,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/24777\/revisions\/25003"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/24942"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=24777"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=24777"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=24777"},{"taxonomy":"author","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fppma_author&post=24777"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}