{"id":24782,"date":"2026-05-05T07:04:47","date_gmt":"2026-05-05T05:04:47","guid":{"rendered":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=24782"},"modified":"2026-05-04T12:57:42","modified_gmt":"2026-05-04T10:57:42","slug":"riemann-y-el-camino-hacia-la-relatividad-general-y-iii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=24782","title":{"rendered":"Riemann y el camino hacia la relatividad general, y III"},"content":{"rendered":"

Finalizamos con esta entrada el an\u00e1lisis de c\u00f3mo la geometr\u00eda riemanniana abri\u00f3 el camino a la relatividad general de Einstein (que iniciamos en Riemann y el camino hacia la relatividad general, I<\/a>\u00a0y seguimos en Riemann y el camino hacia la relatividad general, II<\/a>).<\/p>\n

\"\"Desde el mismo momento en que se empez\u00f3 a sospechar la existencia de geometr\u00edas consistentes que no verificaban el postulado de las paralelas, algunos matem\u00e1ticos empezaron a cuestionar el car\u00e1cter eucl\u00eddeo del espacio f\u00edsico en que vivimos \u2013algo que hab\u00eda sido dogma de fe hasta entonces\u2013. Por ejemplo, Ferdinand Schweikart (1780-1859), uno de los que primero estudiaron geometr\u00edas no eucl\u00eddeas, postulaba que su geometr\u00eda astral no eucl\u00eddea pod\u00eda ser cierta en regiones lejanas del universo, y el mism\u00edsimo Gauss midi\u00f3 tri\u00e1ngulos entre monta\u00f1as para ver si sus \u00e1ngulos sumaban o no 180 grados. Riemann dedic\u00f3 p\u00e1rrafos muy significativos en su lecci\u00f3n inaugural como privatdozent<\/em> a tan fundamental asunto, dejando claro que esa cuesti\u00f3n ten\u00eda que ser determinada experimentalmente, desautorizando de esta forma los apriorismos de Kant y desafiando el espacio f\u00edsico eucl\u00eddeo de Newton. De hecho, el \u00faltimo p\u00e1rrafo de su lecci\u00f3n fue bastante premonitorio: \u00abLa decisi\u00f3n acerca de estas cuestiones s\u00f3lo podr\u00e1 encontrarse abandonando la anterior concepci\u00f3n de los fen\u00f3menos, bien contrastada en la experiencia, cuya base fue establecida por Newton, y reform\u00e1ndola poco a poco merced a los hechos que no permite explicar. Las investigaciones que, como la aqu\u00ed desarrollada, parten de conceptos generales, s\u00f3lo pueden servir para que dicho trabajo no se vea entorpecido por las limitaciones de los conceptos, y para que los prejuicios transmitidos no impidan el avance en el conocimiento de las conexiones entre las cosas. Esto nos lleva al domino de otra ciencia, al terreno de la f\u00edsica, en el que, dada la naturaleza de la ocasi\u00f3n en que hoy nos encontramos, no podemos penetrar\u00bb. Hablando en t\u00e9rminos b\u00edblicos \u2013por tanto, exagerados\u2013, Riemann parece aqu\u00ed profetizar la buena nueva de una revoluci\u00f3n en f\u00edsica: sesenta y un a\u00f1os despu\u00e9s, la historia iba a darle la raz\u00f3n con la teor\u00eda de la relatividad general de Einstein.<\/p>\n

Einstein erigi\u00f3 su teor\u00eda sobre dos principios f\u00edsicos fundamentales: el de equivalencia, y el de relatividad general.<\/p>\n

\"\"El primero lo encontr\u00f3 en noviembre de 1907, y afirma: \u00abEs posible sustituir un campo gravitacional homog\u00e9neo por un sistema de referencia uniformemente acelerado, siendo este \u00faltimo caso susceptible de tratamiento te\u00f3rico hasta cierto grado\u00bb. Esta versi\u00f3n seminal del principio de equivalencia establece que los fen\u00f3menos mec\u00e1nicos en un campo gravitacional homog\u00e9neo de valor constante \u2013como el que, grosso modo, afecta a una persona en la Tierra\u2013 son indistinguibles de los medidos en un sistema de referencia no afectado por ning\u00fan campo gravitatorio que se mueva con aceleraci\u00f3n constante igual tambi\u00e9n al valor del campo gravitacional. Posteriormente, Einstein extendi\u00f3 la equivalencia a todos los campos gravitacionales \u2013sean o no uniformes\u2013 y a todos los fen\u00f3menos f\u00edsicos \u2013no s\u00f3lo los mec\u00e1nicos\u2013.<\/p>\n

El principio de equivalencia permite \u00abexplicar\u00bb una casualidad sorprendente de la mec\u00e1nica newtoniana: la igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria. La masa inercial mide la resistencia que opone un objeto a ser movido, mientras que la masa gravitatoria mide su capacidad para atraer a otros cuerpos y su facilidad para ser atra\u00eddo por otros. Para Einstein esta igualdad no era una casualidad sino reflejo de un principio b\u00e1sico de la naturaleza, el principio de equivalencia; dicho en otras palabras, la igualdad ser\u00eda consecuencia de la equivalencia de la fuerza de atracci\u00f3n gravitatoria en la Tierra con un movimiento uniformemente acelerado.<\/p>\n

El segundo principio, el de relatividad general es, en cierta forma, un principio democr\u00e1tico: las leyes de la f\u00edsica no deben privilegiar ning\u00fan estado de movimiento concreto, o sea, no deben depender de la situaci\u00f3n de movimiento del observador. Para Einstein, el principio de relatividad general era tambi\u00e9n est\u00e9tico. Lo que hac\u00eda muy dif\u00edcil dar respuesta a la pregunta fundamental: \u00bfhasta d\u00f3nde llevar ese principio democr\u00e1tico\/est\u00e9tico? En el proceso de creaci\u00f3n de su teor\u00eda, Einstein dud\u00f3 varias veces si la invariancia deb\u00eda afectar a cualquier estado de movimiento o s\u00f3lo a algunos especiales. Es muy arriesgado dar respuesta a esta pregunta apelando a consideraciones de elegancia, ya que estas son tan delicadas como cuestionables en ciencia; pero, por otra parte, no hab\u00eda entonces ning\u00fan sustento experimental para saber hasta d\u00f3nde extender el principio de relatividad. La cuesti\u00f3n acab\u00f3 resolvi\u00e9ndola Einstein dej\u00e1ndose guiar por la heur\u00edstica matem\u00e1tica del c\u00e1lculo diferencial absoluto que Ricci y Levi-Civita hab\u00edan desarrollado para estudiar variedades riemannianas.<\/p>\n

Porque, aparte del principio de equivalencia y el de relatividad general \u2013presentes ambos desde el inicio\u2013, Einstein necesit\u00f3 un tercer ingrediente para desarrollar la teor\u00eda general de la relatividad. Se trata de c\u00f3mo dar forma matem\u00e1tica a esos principios, c\u00f3mo encontrar unas ecuaciones matem\u00e1ticas que, respetando esos principios, reflejen adecuadamente el comportamiento del universo. Ese problema lo resolvi\u00f3 a finales de 1911, cuando comprendi\u00f3 que la f\u00edsica deb\u00eda ser transformada en geometr\u00eda.<\/p>\n

\"\"Eso, justamente, es lo que hab\u00eda hecho Hermann Minkowski (1864-1909), que hab\u00eda sido profesor de Einstein en Zurich, con la relatividad especial einsteniana en 1907. Un a\u00f1o despu\u00e9s, poco antes de morir, en un conferencia titulada \u00abEspacio y tiempo\u00bb pronunciada en Colonia en septiembre de 1908, Minkowski logr\u00f3 exponer su idea con la justa dosis de poes\u00eda para que sus palabras transcendieran el \u00e1mbito cient\u00edfico: \u00ab\u00a1Se\u00f1ores! Las ideas de espacio y tiempo que quiero presentar ante ustedes han surgido del terreno de la f\u00edsica experimental y es ah\u00ed donde radica su fuerza. Y son ideas radicales: a partir de ahora, el espacio por s\u00ed mismo y el tiempo por s\u00ed mismo est\u00e1n condenados a desvanecerse en meras sombras, y solamente una especie de uni\u00f3n de los dos conservar\u00e1 la independencia\u00bb. Dicho con brutal sinceridad, esa \u00abespecie de uni\u00f3n\u00bb entre espacio y tiempo la consigui\u00f3 Minkowski usando un espacio de cuatro dimensiones dotado con una geometr\u00eda casi eucl\u00eddea. M\u00e1s expl\u00edcitamente, Minkowski mostr\u00f3 que para calcular distancias en el espacio asociado a la relatividad especial no podemos separar por un lado las coordenadas espaciales de la temporal, sino que hay que considerar las cuatro coordenadas seg\u00fan la m\u00e9trica riemanniana dada por<\/p>\n

$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2,$$<\/p>\n

donde c<\/em> es la velocidad de la luz.<\/p>\n

A Einstein no le gust\u00f3 inicialmente la idea de Minkowski, y se refiri\u00f3 a ella en t\u00e9rminos algo despectivos: \u00abDesde que los matem\u00e1ticos la han tomado con la teor\u00eda de la relatividad, ni yo mismo la entiendo\u00bb, cont\u00f3 alguien que dijo, a\u00f1adiendo que ese tratamiento matem\u00e1tico le parec\u00eda una \u00aberudici\u00f3n superflua\u00bb. Pero luego tuvo que rectificar, cuando comprendi\u00f3 que la transformaci\u00f3n de la f\u00edsica en geometr\u00eda, expl\u00edcita en el espacio\/tiempo de Minkowski, se\u00f1alaba el camino correcto para la formulaci\u00f3n matem\u00e1tica de la relatividad general: \u00abSin las importantes ideas de Minkowski \u2013dijo despu\u00e9s\u2013, la teor\u00eda general de la relatividad quiz\u00e1 se habr\u00eda quedado en pa\u00f1ales\u00bb.<\/p>\n

Se puede explicar en pocas palabras qu\u00e9 papel tienen los principios de equivalencia y relatividad general en la conversi\u00f3n de la f\u00edsica en geometr\u00eda. Sea cual sea la composici\u00f3n material de un cuerpo y la cantidad de materia que tenga, sabemos que desciende con la misma velocidad cuando es sometido al campo gravitatorio de la Tierra; da igual que est\u00e9 hecho de plomo, de madera o de paja, o de que sea una gigantesca roca del tama\u00f1o de una iglesia o una simple canica del tama\u00f1o de un grano de arroz \u2013esto no es sino otra manera de ver el principio de equivalencia\u2013. Si pensamos en el movimiento de ca\u00edda como una curva descrita por las coordenadas tanto espaciales como temporales del cuerpo que cae, esa invariancia de la velocidad sugiere que, casi m\u00e1s que una propiedad de la materia, la gravitaci\u00f3n es una propiedad geom\u00e9trica del espacio y del tiempo. Es como si comprobamos que los \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo suman 180 grados, siendo indiferente si el tri\u00e1ngulo est\u00e1 hecho de madera, de aluminio, de pl\u00e1stico, o simplemente pintado sobre una hoja de papel: al final acabamos pensando que esa propiedad de los tri\u00e1ngulos no viene determinada por la materia de que est\u00e9n compuestos. Es decir, el principio de equivalencia nos acaba llevando a la geometr\u00eda del espacio\/tiempo; mejor dicho, a una geometr\u00eda curvada del espacio\/tiempo. Pero no nos dice c\u00f3mo de curvado es ese espacio\/tiempo; para saberlo tenemos que echar mano del otro principio b\u00e1sico de la gravitaci\u00f3n einsteniana: el principio de relatividad general. Dependiendo de hasta d\u00f3nde extendamos la invariancia de las leyes f\u00edsicas \u2013si a cualquier tipo de movimiento en que se halle el observador o s\u00f3lo para algunos, los que tienen aceleraci\u00f3n constante, por ejemplo\u2013, el principio de relatividad nos dir\u00e1 c\u00f3mo se curva entonces el espacio\/tiempo.<\/p>\n

De esto es de lo que tom\u00f3 conciencia Einstein hacia 1911: su teor\u00eda de la relatividad general deb\u00eda de consistir en unas ecuaciones matem\u00e1ticas que permitieran calcular de qu\u00e9 forma el espacio\/tiempo es curvado por la materia que contiene \u2013ya sea el Sol, los planetas, o una galaxia completa\u2013. Seg\u00fan Einstein, es la materia la que da forma a ese espacio\/tiempo y, a su vez, es la geometr\u00eda de ese espacio\/tiempo la que forzar\u00e1 a la materia a moverse siguiendo sus l\u00edneas geod\u00e9sicas \u2013esto es, las curvas sobre ese espacio\/tiempo con menor longitud\u2013.<\/p>\n

El problema para Einstein fue que en 1911 no conoc\u00eda los trabajos de Riemann ni los de Ricci y Levi-Civita: \u00abTuve en primer lugar la idea decisiva de la analog\u00eda existente entre los problemas matem\u00e1ticos relacionados con la teor\u00eda de la relatividad y la teor\u00eda de superficies de Gauss en 1912 \u2013reconocer\u00eda Einstein con posterioridad\u2013, despu\u00e9s de mi vuelta a Zurich, sin que por entonces conociera los trabajos de Riemann, Ricci o Levi-Civita\u00bb. En Zurich, Einstein se ali\u00f3 con Marcel Grossmann (1878-1936), que hab\u00eda sido compa\u00f1ero suyo de estudios, y se hab\u00eda despu\u00e9s especializado en geometr\u00eda diferencial.<\/p>\n

Para describir la geometr\u00eda del espacio\/tiempo, Einstein us\u00f3 un espacio de cuatro dimensiones, \\(x_1,x_2,x_3,x_4,\\) las tres primeras miden la ubicaci\u00f3n espacial y la cuarta la temporal, y una m\u00e9trica riemanniana<\/p>\n

$$ds^2=\\sum_{1=a\\le b}^4 g_{ab}dx_adx_b,$$<\/p>\n

que vendr\u00eda a determinar la geometr\u00eda del espacio\/tiempo. Las \\(g_{a,b}\\) son funciones desconocidas que hay que encontrar a partir del contenido material y energ\u00e9tico de un sistema \u2013que puede ser el universo completo o una de sus partes (el sistema solar, por ejemplo)\u2013. Para calcular esas funciones, Einstein tuvo que determinar las ecuaciones que las ligan con el contenido material y energ\u00e9tico del sistema. A partir de 1912, Einstein pele\u00f3 denodadamente por formular esas ecuaciones, con numerosas titubeos sobre el alcance que deb\u00eda de dar al principio de relatividad general. Finalmente Einstein pari\u00f3 sus ecuaciones el 25 de noviembre de 1915, tras un intens\u00edsimo y emocionante esfuerzo final hecho a lo largo de ese mes de noviembre, cuando en un ciclo de cuatro conferencias en la Academia de Berl\u00edn lleg\u00f3 a presentar varias versiones err\u00f3neas \u2013muy acuciado porque sab\u00eda que tambi\u00e9n David Hilbert batallaba por presentar sus propias ecuaciones, v\u00e9anse al respecto las entradas Einstein y Hilbert (1)<\/a> y Einstein y Hilbert (y 2)<\/a> del Blog del IMUS)\u2013.<\/p>\n

En ese largo proceso de g\u00e9nesis de la relatividad general, el aparataje matem\u00e1tico de Riemann, Ricci y Levi-Civita fue fundamental para Einstein. As\u00ed lo explic\u00f3 Jos\u00e9 Manuel S\u00e1nchez Ron en El origen y desarrollo de la relatividad<\/em>: \u00abEn esos a\u00f1os aparecen y juegan un papel esencial, sin la menor duda, argumentos de orden f\u00edsico, pero existe una din\u00e1mica, una heur\u00edstica matem\u00e1tica, que es la que dirige o establece, en la mayor parte de las ocasiones, cu\u00e1l es el siguiente paso a dar. Exist\u00edan motivos f\u00edsicos para buscar un tensor de segundo orden, pero \u00bfpor qu\u00e9 seleccionar precisamente el tensor de Ricci? La respuesta es obvia, porque exist\u00eda un aparato matem\u00e1tico, previamente<\/em> desarrollado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita, con algunas de las caracter\u00edsticas deseadas por Einstein\u00bb.<\/p>\n

Las ecuaciones de la relatividad general se pueden expresar de forma muy compacta, y no es infrecuente que aparezcan impresas en las camisetas que los alumnos de f\u00edsica tratan de vender para sufragarse los t\u00edpicos viajes de estudios. Una de sus variaciones es la siguiente:<\/p>\n

$$R_{ab}-\\frac 12Rg_{ab}=8\\pi GT_{ab}.$$<\/p>\n

Esas ecuaciones hay que entenderlas del siguiente modo. Empecemos por la parte derecha de la ecuaci\u00f3n. Ah\u00ed se encuentran los datos que conocemos y que vienen representados por el s\u00edmbolo \\(T_{ab}\\), que representa la distribuci\u00f3n de masa o energ\u00eda en el espacio \u2013lo que se llama el tensor de energ\u00eda\u2013; el resto son constantes: el n\u00famero \\(\\pi\\)\u00a0 y la constante de gravitaci\u00f3n universal \\(G\\). En la parte izquierda se halla lo que desconocemos y, resolviendo la ecuaci\u00f3n, queremos calcular. Por un lado, el s\u00edmbolo \\(g_{ab}\\)\u00a0 representa las funciones que determinan la geometr\u00eda del espacio\/tiempo, y son las inc\u00f3gnitas que queremos calcular, mientras que el s\u00edmbolo \\(R_{ab}\\) es lo que se llama el tensor de Ricci, y viene a establecer c\u00f3mo hay que combinar las funciones \u00a0junto con sus variaciones con respecto al tiempo y el espacio; finalmente, \\(R\\) es denominada curvatura escalar, y viene a medir una especie de promedio global de la curvatura del espacio\/tiempo.<\/p>\n

Esas ecuaciones son como una met\u00e1fora, y su significado se puede sintetizar en una frase tan simple como esclarecedora: \u00abEl espacio act\u00faa sobre la materia, dici\u00e9ndole c\u00f3mo tiene que moverse, mientras que la materia reacciona dici\u00e9ndole al espacio c\u00f3mo tiene que curvarse\u00bb \u2013y que se puede leer al inicio del texto Gravitation<\/em>, de C.W. Misner, K.S. Thorne y J.A. Wheeler, considerado casi desde su aparici\u00f3n en 1973 como la Biblia de la teor\u00eda de la relatividad general\u2013. De esta forma, la geometr\u00eda del espacio\/tiempo no es permanente \u2013como lo eran el espacio y el tiempo absolutos newtonianos\u2013 sino que cambia con el tiempo; todo lo que contenga materia o porte energ\u00eda modificar\u00e1 la forma del espacio\/tiempo y esa modificaci\u00f3n afectar\u00e1 la manera en que la materia se mueve o la luz se propaga.<\/p>\n

Esa fue la versi\u00f3n definitiva que Einstein present\u00f3 el 25 de noviembre a la Academia. Como \u00e9l mismo reconoci\u00f3, hab\u00eda culminado unas semanas de trabajo tan intenso y agotador que \u00abA menudo me he olvidado hasta de comer\u00bb. Pero hab\u00eda merecido la pena, y en varias cartas de esos d\u00edas comentaba a amigos y conocidos: \u00abLa teor\u00eda es de una belleza incomparable\u00bb; y tambi\u00e9n: \u00abEl descubrimiento m\u00e1s valioso de mi vida\u00bb; e incluso: \u00abMis mejores sue\u00f1os se han hecho realidad\u00bb. Sue\u00f1os, no conviene olvidarlo, que para hacerse realidad necesitaron todo el trabajo sobre geometr\u00edas no eucl\u00eddeas que los matem\u00e1ticos hab\u00edan acumulado en el siglo anterior, bregando adem\u00e1s con las cr\u00edticas de muchos cient\u00edficos y fil\u00f3sofos, precisamente por gastar tiempo y energ\u00edas en esas investigaciones.<\/p>\n

Referencias:<\/p>\n

Antonio J. Dur\u00e1n, El universo sobre nosotros<\/em>, Cr\u00edtica, Barcelona, 2015.<\/p>\n

Antonio J. Dur\u00e1n,\u00a0Cr\u00f3nicas matem\u00e1ticas<\/em>, Cr\u00edtica, Barcelona, 2018.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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