{"id":25140,"date":"2026-09-15T07:01:01","date_gmt":"2026-09-15T05:01:01","guid":{"rendered":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=25140"},"modified":"2026-09-16T19:54:36","modified_gmt":"2026-09-16T17:54:36","slug":"conectemos-a-pepito-perez-en-mairena-del-aljarafe-con-oliver-jones-en-melbourne-australia-i","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=25140","title":{"rendered":"Conectemos a Pepito P\u00e9rez, en Mairena, con Oliver Jones, en Melbourne (I)"},"content":{"rendered":"<h4 style=\"font-weight: 400;text-align: justify\"><strong>La teor\u00eda<\/strong><\/h4>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">La teor\u00eda de los seis grados de separaci\u00f3n es clara: dice que, elegidas arbitrariamente dos personas de diferentes lugares del planeta, podemos encontrar una conexi\u00f3n entre ellas basada en, como mucho,cinco personas intermedias.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">En otras palabras, que el mundo es un pa\u00f1uelo.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Esta teor\u00eda se ha visto reforzada a lo largo de los a\u00f1os de dos maneras:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify\">\n<li>A base de experimentos, de los cuales el m\u00e1s famoso (aunque no el m\u00e1s relevante) se debe a Milgram.<\/li>\n<li>Gracias a la concepci\u00f3n de modelos matem\u00e1ticos que explican satisfactoriamente la situaci\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n<figure id=\"attachment_25144\" aria-describedby=\"caption-attachment-25144\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignleft\"><img fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-25144 size-medium\" src=\"http:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/explanation_1-300x196.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"196\" srcset=\"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/explanation_1-300x196.jpg 300w, https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/explanation_1-1024x670.jpg 1024w, https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/explanation_1-768x503.jpg 768w, https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/explanation_1.jpg 1100w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-25144\" class=\"wp-caption-text\">Fig. 1 &#8211; La red.<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Para comprender que la teor\u00eda dice algo razonable, pensemos en el n\u00famero de conocidos que puede tener un ciudadano medio: \u00bfcincuenta, cien personas?<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Mi contacto con alguna de estas personas abre la posibilidad de contacto indirecto con (al menos) otras 50 X 50 = 2500. Igualmente, con s\u00f3lo dos pasos, podr\u00e9 llegar al menos a 50 X 50 X 50 = 1.250.000, etc. El crecimiento del conjunto de personas abordables es por tanto muy r\u00e1pido, de donde no tiene nada de extra\u00f1o que en seis pasos lleguemos a cualquier otro individuo.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Otra manera de ver la situaci\u00f3n consiste en preguntarnos, como hace el autor en [1], cu\u00e1ntos pasos tenemos que dar para llegar a alguien de relevancia p\u00fablica. Por ejemplo, para que un profesor universitario llegue al Ministro de su ramo, basta conectar primero con el Director del Departamento, despu\u00e9s, que \u00e9ste conecte con el Rector y \u00e9ste con el Ministro. Siguiendo un camino inverso, el Ministro conocer\u00e1 directa o indirectamente (a trav\u00e9s de otro Ministro) al director de un Hospital, que conocer\u00e1 sin duda a los m\u00e9dicos del mismo. En resumen, para conectar al profesor con el m\u00e9dico har\u00e1n falta, como mucho, 6 pasos \u2026<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">De todos modos, debemos \u00a0tener en cuenta que no es posible que la totalidad de la poblaci\u00f3n mundial est\u00e9 interconectada por tan s\u00f3lo seis grados de separaci\u00f3n. En efecto, existen colectivos que nunca han tenido contacto con personas fuera de su propia cultura. Es el caso de los <em>sentineleses<\/em> (Isla Sentinel del Norte, India), posiblemente la tribu m\u00e1s aislada (rechazan activamente cualquier tipo de interacci\u00f3n con el exterior); los <em>kawahivas,<\/em> que habitan en la cuenca amaz\u00f3nica peruana, cerca de la frontera con Brasil, etc. No obstante, dada la peque\u00f1a talla de estas poblaciones, podemos esperar una conexi\u00f3n como la que se ha mencionado m\u00e1s arriba para al menos el 99 % de la poblaci\u00f3n.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Naturalmente, consideraciones muy parecidas sirven para describir la cercan\u00eda o lejan\u00eda en multitud de redes de la vida real: internet, comunidad de actores y actrices, coautor\u00eda de art\u00edculos cient\u00edficos, sin\u00f3nimos en una lengua, especies de un mismo ecosistema, etc.<\/p>\n<figure id=\"attachment_25145\" aria-describedby=\"caption-attachment-25145\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignright\"><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-25145 size-medium\" src=\"http:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/K_Spacey-300x180.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"180\" srcset=\"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/K_Spacey-300x180.png 300w, https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/K_Spacey.png 750w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-25145\" class=\"wp-caption-text\">Fig. 2 &#8211; K Bacon y su red.<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"text-align: justify\">Existe el juego de sal\u00f3n S<em>eis grados de Kevin Bacon, <\/em>en el que los jugadores se retan unos a otros a elegir aleatoriamente un actor y luego conectarlo con otro a trav\u00e9s de una pel\u00edcula en la que ambos hayan aparecido juntos. Despu\u00e9s se repite el proceso con la finalidad de encontrar el camino m\u00e1s corto que conduzca finalmente a Kevin Bacon. Por supuesto, la hip\u00f3tesis de partida es que la \u00abdistancia\u00bb de cualquier actor a Bacon es menor o igual que seis.<\/p>\n<h4 style=\"font-weight: 400;text-align: justify\"><strong>Milgram<\/strong><\/h4>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Stanley Milgram (1933-1984) fue un c\u00e9lebre psic\u00f3logo norteamericano, famoso sobre todo por la realizaci\u00f3n de los experimentos de <em>obediencia a la autoridad<\/em> y de la <em>conexi\u00f3n en el peque\u00f1o mundo.<\/em><\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">En el primero de ellos, llevado a cabo en 1961, mostr\u00f3 que tenemos una tendencia a obedecer \u00f3rdenes mucho mayor que la que, en principio, esperamos de nosotros mismos. Esta tendencia nos puede llevar a ejecutar acciones que son contrarias a lo que nos parece adecuado, incluso a lo que nos parece \u00e9tico; v\u00e9ase [2].<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">En el segundo experimento, puso de manifiesto aspectos que parecen confirmar la teor\u00eda de los seis grados. Milgram eligi\u00f3 aleatoriamente un conjunto de personas y les pidi\u00f3 que hicieran llegar a un individuo desconocido que habitaba un lugar lejano una carta utilizando sus contactos. Muchas de las cartas nunca llegaron (debido probablemente a la dejadez de las personas encargadas o de sus contactos), pero el 20% de las misivas alcanz\u00f3 el destino final y, en estos casos de \u00e9xito, se contabiliz\u00f3 un promedio de seis pasos; v\u00e9ase [3].<\/p>\n<figure id=\"attachment_25143\" aria-describedby=\"caption-attachment-25143\" style=\"width: 176px\" class=\"wp-caption alignleft\"><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-25143\" src=\"http:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/S_Milgram.jpeg\" alt=\"\" width=\"176\" height=\"286\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-25143\" class=\"wp-caption-text\">Fig. 3 &#8211; S. Milgram.<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">El experimento no estuvo libre de cr\u00edticas, basadas en que la elecci\u00f3n de Milgram pod\u00eda no haber sido completamente arbitraria y, sobre todo, en que la elecci\u00f3n de los participantes de sus contactos, pod\u00eda haber sido no la mejor posible. M\u00e1s recientemente, se han llevado a cabo experimentos similares (v\u00e9ase por ejemplo [4, 5]), que tambi\u00e9n han recibido las mismas cr\u00edticas.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">No se debe confundir a este Milgram con Arthur Milgram (1912-1961), conocido matem\u00e1tico que, junto a Peter Lax, dio lugar a uno de los resultados m\u00e1s relevantes y con mayor aplicabilidad de la teor\u00eda de ecuaciones en derivadas parciales, ver [6].<\/p>\n<h4 style=\"font-weight: 400;text-align: justify\"><strong>Grafos que modelan y explican<\/strong><\/h4>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Las herramientas matem\u00e1ticas que permiten describir redes como las precedentes son los grafos. Un grafo no orientado es un par \\(G = (V,R)\\), donde \\(V\\) es un conjunto finito de v\u00e9rtices (\\(n\\) en lo que sigue) y \\(R\\) es un conjunto de segmentos cuyos puntos inicial y final son elementos de \\(V\\).<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Se dice que un v\u00e9rtice est\u00e1 aislado si ning\u00fan segmento de \\(R\\) parte o acaba en \u00e9l. Se dice que \\(G\\) es <em>completo<\/em> si ning\u00fan v\u00e9rtice de \\(G\\) est\u00e1 aislado. Si \\(u\\) y \\(v\\) son dos v\u00e9rtices, se llama <em>camino de<\/em> \\(u\\) <em>a <\/em>\\(v\\) a toda sucesi\u00f3n finita \\(\\{\\ell_1, \\dots, \\ell_m\\}\\) de segmentos contiguos \\(\\ell_i \\in R\\) tal que \\(\\ell_1\\) comienza en \\(u\\) y \\(\\ell_m\\) acaba en \\(v\\). La <em>distancia<\/em> \\(d(u,v)\\) es la menor longitud de un camino que vaya de \\(u\\) a \\(v\\). Y el <em>di\u00e1metro<\/em> \\(D(G)\\) de \\(G\\) es la mayor distancia ente dos v\u00e9rtices.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Vemos entonces que, para un grafo con \\(n\\) v\u00e9rtices, los conceptos adecuados para medir la separaci\u00f3n entre v\u00e9rtices son el di\u00e1metro \\(D(G)\\) y la distancia media<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">\u00a0\u00a0 \\[\\ell := \\frac{\\sum_{i\\not=j} d(v_i,v_j)}{n(n-1)\/2} ,\\]<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">donde la suma est\u00e1 extendida a todos los pares de v\u00e9rtices distintos \\((v_i,v_j)\\) y el denominador proporciona el mayor n\u00famero posible de enlaces de un nodo a otro.<\/p>\n<figure id=\"attachment_25147\" aria-describedby=\"caption-attachment-25147\" style=\"width: 532px\" class=\"wp-caption alignright\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-25147 size-full\" src=\"http:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Grafos_WS_1998.jpg\" alt=\"Fig.5 . Grafo regular, de mundo peque\u00f1o y aleatorio (tomada de [8]).\" width=\"532\" height=\"245\" srcset=\"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Grafos_WS_1998.jpg 532w, https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Grafos_WS_1998-300x138.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 532px) 100vw, 532px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-25147\" class=\"wp-caption-text\">Fig. 4 &#8211; Grafo regular, de mundo peque\u00f1o y aleatorio (tomada de la referencia [8]).<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Un primer ejemplo de modelo para una red poblacional est\u00e1 dado por el grafo regular \\(G_0(n)\\) de la Fig. 4 (izqda.), donde cada nodo est\u00e1 conectado a los cuatro adyacentes. Es f\u00e1cil ver que la distancia media es en este caso \\(n\/8\\) y crece en consecuencia linealmente con \\(n\\), algo que nada tiene que ver con la realidad. Procede por tanto incorporar mejoras.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Una primera modificaci\u00f3n de este modelo fue dada por Erd\u00f6s y Renyi en los a\u00f1os 50, v\u00e9ase [7]. El nuevo modelo se genera como sigue: partimos de un conjunto \\(V\\) de \\(n\\) v\u00e9rtices y, para cada par de v\u00e9rtices \\((u,v)\\), a\u00f1adimos (o no) el segmento de \\(u\\) a \\(v\\) con probabilidad \\(p\\); v\u00e9ase la Fig. 4 (drcha.). Se dice que hemos construido un grafo aleatorio.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Supongamos que, para cada \\(n\\), somos capaces de construir un grafo \\(G(n)\\) de estas caracter\u00edsticas con \\(p =p(n)\\). Los \u00a0\\(G(n)\\) poseen propiedades remarcables:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify\">\n<li>El n\u00famero medio de conexiones de un v\u00e9rtice es \\(\\langle k(n) \\rangle = (n-1) p(n)\\).<\/li>\n<li>El di\u00e1metro \\(D(G(n))\\) y la distancia media entre dos v\u00e9rtices \\(\\ell(n)\\) son aproximadamente iguales a \\(\\log n\/log \\langle k(n) \\rangle\\) para grandes valores de \\(n\\).<\/li>\n<li>Existe una probabilidad cr\u00edtica \\(p_c(n) = \\log n\/n\\) tal que, para \\(p(n)\/p_c(n) \\to +\\infty\\), la probabilidad de que el grafo \\(G(n)\\) sea completo tiende a \\(1\\).<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Aceptemos que las conexiones de la poblaci\u00f3n mundial corresponden a las de un grafo \\(G(n)\\) generado con probabilidad cr\u00edtica \\(p_c(n) = \\log n\/n\\), con \\(n = 7 \\cdot 10^9\\) v\u00e9rtices (aproximadamente el n\u00famero de habitantes del planeta). Entonces tendr\u00edamos<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">\u00a0\u00a0 \\[\\langle k(n) \\rangle \\approx n\\cdot p_c(n) = \\log n \\approx 23\\ \\text{ y } \\ D(n) \\approx \\log n\/log \\langle k(n) \\approx 7.3 . \\]<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Dicho de otro modo: en un escenario en el que cada individuo conoce en promedio unas \\(23\\) personas, obtenemos aproximadamente \\(7\\) grados de separaci\u00f3n entre uno y otro.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Este resultado parece indicar que la hip\u00f3tesis de seis grados de separaci\u00f3n es m\u00e1s que razonable (cabe esperar un valor de \\(\\langle k(n) \\rangle\\) mucho mayor que \\(23\\)).<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Sin embargo, el modelo no es del todo realista: las conexiones se han establecido de manera totalmente aleatoria, lo cual no obedece a la realidad. En efecto, habitualmente nos asociamos con personas pr\u00f3ximas, con las que compartimos intereses, familia, trabajo, aficiones deportivas, etc.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">El modelo de Erd\u00f6s y Renyi ha sido modificado y mejorado en \u00e9pocas m\u00e1s recientes por Watts y Strogatz y posteriormente por Kleinberg (v\u00e9ase [8] y [9]), dando lugar a los llamados <em>grafos de mundo peque\u00f1o;<\/em> v\u00e9ase la Fig. 4 (centro). Se trata de modelos que ocupan un lugar intermedio entre el del grafo regular \\(G_0(n)\\) y el grafo aleatorio \\(G(n)\\) y en ellos cobra importancia no s\u00f3lo el di\u00e1metro y la distancia media, sino tambi\u00e9n el agrupamiento.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Pero, por razones de espacio, una descripci\u00f3n de los mismos, de sus propiedades y de su aplicabilidad queda para m\u00e1s adelante como objetivo de una nueva entrada.<\/p>\n<h4 style=\"font-weight: 400;text-align: justify\"><strong>Referencias:<\/strong><\/h4>\n<ol>\n<li style=\"font-weight: 400;text-align: justify\">Leonesi, S.: The mystery of the six degrees of separation, parts I and II. Lett Mat Int (2015) 3:121\u2013127 and Lett Mat Int (2015) 3:215\u2013220.<\/li>\n<li style=\"font-weight: 400;text-align: justify\"><span style=\"font-size: 16px\">Milgram, S.: <\/span><em style=\"font-size: 16px\">Obedience to Authority: An Experimental View, Harpercollins, 1974.<\/em><\/li>\n<li style=\"font-weight: 400;text-align: justify\"><span style=\"font-size: 16px\">https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Experimento_del_mundo_peque%C3%B1o<\/span><\/li>\n<li>\n<p class=\"p1\">Lovgren, S.: Six degrees of E-mail separate wired world? National geographic news, 7 Aug 2003.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"p1\">Cho, D.: E-mail study corroborates six degrees of separation, Scientific American, 8 Aug 2003.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"p1\"><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">Lax,P.; Milgram, A.N. (1954): <\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/www.degruyter.com\/view\/books\/9781400882182\/9781400882182-010\/9781400882182-010.xml\">\u00abParabolic equations\u00bb<\/a><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">,\u00a0<\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/www.degruyter.com\/viewbooktoc\/product\/474533\">Contributions to the theory of partial differential equations<\/a><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">, Annals of Mathematics Studies, vol.\u00a033,\u00a0<\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Princeton,_N._J.\">Princeton, N. J.<\/a><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">:\u00a0<\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Princeton_University_Press\">Princeton University Press<\/a><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">, pp.\u00a0167\u2013190,\u00a0<\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/MR_(identifier)\">MR<\/a><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">\u00a0<\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/mathscinet.ams.org\/mathscinet-getitem?mr=0067317\">0067317<\/a><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">,\u00a0<\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Zbl_(identifier)\">Zbl<\/a><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">\u00a0<\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/zbmath.org\/?format=complete&amp;q=an:0058.08703\">0058.08703<\/a><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">\u00a0\u2013 via\u00a0<\/span><a style=\"font-size: 16px;text-align: justify\" href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/De_Gruyter\">De Gruyter.<\/a><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"p1\">Erd\u00f6s, P., Renyi, A.: On the evolution of random graphs. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato, Int. K\u00f6zi 5 (1960).<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"p1\"><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">Watts, D.J., Strogatz, S.H.; Collective dynamics of \u00a0\u00absmall-world\u00bb networks. Nature 393, 440\u2013442 (1998).<\/span><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p class=\"p1\"><span style=\"font-size: 16px;text-align: justify\">Kleinberg, J.: The small-world phenomenon: an algorithmic perspective. In: Proceedings 32nd ACM Symposium on Theory of Computing (2000) (also in Cornell Computer Science Technical Report, 99\u20131776, 1999).<\/span><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La teor\u00eda La teor\u00eda de los seis grados de separaci\u00f3n es clara: dice que, elegidas arbitrariamente dos personas de diferentes lugares del planeta, podemos encontrar una conexi\u00f3n entre ellas basada en, como mucho,cinco personas intermedias. En otras palabras, que el mundo es un pa\u00f1uelo. 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