{"id":25345,"date":"2026-10-27T07:05:14","date_gmt":"2026-10-27T06:05:14","guid":{"rendered":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=25345"},"modified":"2026-10-25T09:52:07","modified_gmt":"2026-10-25T08:52:07","slug":"el-algoritmo-de-nuestra-vida-de-gauss-a-cooley-y-tukey","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.rasc.es\/blogacademia\/?p=25345","title":{"rendered":"El algoritmo de nuestra vida: De Gauss a Cooley y Tukey"},"content":{"rendered":"

La transformada r\u00e1pida de Fourier (FFT) se asocia habitualmente con un art\u00edculo de 1965, pero la idea es mucho m\u00e1s antigua: Gauss la empleaba hacia 1805 y varios autores la redescubrieron de forma parcial antes de que Cooley y Tukey la hicieran popular. Este ensayo repasa esa historia a partir de los relatos de sus protagonistas, expone el fundamento matem\u00e1tico del algoritmo y explica por qu\u00e9 acab\u00f3 en el dominio p\u00fablico.<\/p>\n

Introducci\u00f3n y antecedentes<\/h5>\n

La FFT es un algoritmo para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT) de una secuencia de \\(N\\) muestras \\(x_n\\): $$X_k=\\sum_{n=0}^{N-1}x_nW_N^{nk}$$ con \\(W_N=e^{-2\\pi i\/N}\\) y \\(k=0,\\dots, N-1\\).<\/p>\n

El an\u00e1lisis en frecuencia se remonta a Fourier (1807, 1822). Calculada directamente, la ecuaci\u00f3n (1) requiere del orden de \\(N^2\\) multiplicaciones complejas. La FFT reduce ese coste a \\((N\/2)\\log_2N\\) cuando \\(N\\) es una potencia de 2, y a \\(O(N\\log N)\\) en general.<\/p>\n

La idea de fondo es bastante anterior a 1965. Hacia 1805, Gauss interpolaba trigonom\u00e9tricamente las \u00f3rbitas de los asteroides Pallas y Juno y recurri\u00f3 a un procedimiento que divide una serie de \\(N=ab\\) t\u00e9rminos en subseries, que es en esencia el de la FFT. No lo public\u00f3. El texto, escrito en lat\u00edn, apareci\u00f3 tras su muerte, en 1866 [4]. M\u00e1s tarde surgieron versiones parciales, como la de Danielson y Lanczos (1942) o la de I. J. Good (1958), que tampoco llamaron la atenci\u00f3n [2, 4]. Cooley y Tukey apuntan una raz\u00f3n: con los valores peque\u00f1os de \\(N\\) propios del c\u00e1lculo manual, otros m\u00e9todos basados en las simetr\u00edas de senos y cosenos eran m\u00e1s eficientes, y la ventaja asint\u00f3tica solo se hizo visible con los ordenadores y valores grandes de \\(N\\) [3].<\/p>\n

C\u00f3mo se pas\u00f3 de ah\u00ed a una herramienta de uso general en 1965 es lo que se cuenta a continuaci\u00f3n (figura\u00a01).<\/p>\n

\"\"
Figura 1. Cronolog\u00eda de la FFT, de Gauss a Cooley y Tukey (escala cortada entre 1805 y 1942).<\/figcaption><\/figure>\n
Del comit\u00e9 de 1963 al algoritmo<\/h5>\n

En 1963 se firm\u00f3 el Tratado de Prohibici\u00f3n Parcial de Ensayos Nucleares, que prohib\u00eda las explosiones en la atm\u00f3sfera, el espacio exterior y bajo el agua, pero no las subterr\u00e1neas. Para avanzar hacia una prohibici\u00f3n total hab\u00eda que poder vigilar estas \u00faltimas a distancia, ya que la Uni\u00f3n Sovi\u00e9tica no aceptaba inspecciones en su territorio, y el an\u00e1lisis espectral de los datos s\u00edsmicos chocaba con el coste de calcular las transformadas [2, 3].<\/p>\n

El origen inmediato de la FFT est\u00e1 en una reuni\u00f3n del Comit\u00e9 Asesor Cient\u00edfico del presidente Kennedy. All\u00ed, el f\u00edsico Richard Garwin, de IBM, vio que John W. Tukey (Princeton) estaba garabateando f\u00f3rmulas de Fourier. Tukey le explic\u00f3 que, si \\(N=ab\\), la DFT puede expresarse como una serie de \\(a\\) t\u00e9rminos formada por subseries de \\(b\\) t\u00e9rminos, con lo que el coste pasa de \\(N^2\\) a \\(N(a+b)\\). Repitiendo el procedimiento se llega a un coste proporcional a \\(N\\log N\\) [3]. Garwin acudi\u00f3 al centro de c\u00e1lculo de IBM, que lo envi\u00f3 a James W. Cooley. Le plante\u00f3 como problema el c\u00e1lculo de las periodicidades de esp\u00edn en un cristal de helio-3, aunque, como Cooley supo m\u00e1s tarde, lo que de verdad le interesaba era la vigilancia s\u00edsmica [2]. Al principio Cooley no vio la importancia del m\u00e9todo y lo dej\u00f3 por detr\u00e1s de su propia investigaci\u00f3n, hasta que las llamadas de Garwin lo empujaron a programarlo. El resultado fue un algoritmo radix-2 que sobrescrib\u00eda los datos con los resultados y que serv\u00eda para una, dos y tres dimensiones [3].<\/p>\n

El fundamento matem\u00e1tico es breve. Si \\(N\\) es par, separando las muestras de \u00edndice par e impar y usando \\(W_N^{2nk}=W_{N\/2}^{nk}\\), la ecuaci\u00f3n (1) se escribe $$X_k=\\sum_{n=0}^{N\/2-1}x_{2n}W_{N\/2}^{nk}+W_N^k\\sum_{n=0}^{N\/2-1}x_{2n+1}W_{N\/2}^{nk}$$<\/p>\n

Llamemos \\(E_k\\) y \\(O_k\\) a esos dos sumatorios. Ambos son DFT de tama\u00f1o \\(N\/2\\) y tienen periodo \\(N\/2\\) en \\(k\\). Como adem\u00e1s \\(W_N^{k+N\/2}=-W_N^k\\), basta calcularlas para \\(k=0,\\dots, N\/2-1\\) y obtener todos los coeficientes<\/p>\n

\\begin{align*} X_k&=E_k+W_N^kO_k,\\\\X_{k+N\/2}&=E_k-W_N^kO_k.\\end{align*}<\/p>\n

Esta operaci\u00f3n es la \u00abmariposa\u00bb de la figura 2. Si se aplica de forma recursiva, el n\u00famero de multiplicaciones complejas cumple \\(M(N)=2M(N\/2)+N\/2\\) con \\(M(1)=0\\), y por tanto $$M(N)=(N\/2)\\log_2 N$$.\u00a0<\/p>\n

\"\"
Figura 2. La \u00abmariposa\u00bb de la FFT radix-2.<\/figcaption><\/figure>\n

El art\u00edculo de 1965 trata factorizaciones generales de \\(N\\) e informa de unos 0,02 minutos para una DFT compleja de 2048 puntos en un IBM 7094 [1]. La mejora aumenta con \\(N\\), como muestra la tabla 1.<\/p>\n

\\begin{matrix} N & N^2 & N\\log_2N & N^2\/(N\\log _2N) \\\\ \\hline
\n2^{10} & 1,0\\times 10^{6}& 1,0\\times 10^{4} & \\approx 10^{2}\\\\ 2^{20} & 1,1\\times 10^{12}& 2,1\\times 10^{7} & \\approx 5\\times 10^{4} \\end{matrix}<\/p>\n

Publicaci\u00f3n, dominio p\u00fablico y difusi\u00f3n<\/h5>\n

Cuando Cooley present\u00f3 el algoritmo en un seminario de IBM, entre los asistentes hab\u00eda un abogado de patentes con formaci\u00f3n matem\u00e1tica, Frank Thomas, que apunt\u00f3 que pod\u00eda haber posibilidades de patente. Se convoc\u00f3 una reuni\u00f3n de matem\u00e1ticos y abogados, y Cooley llam\u00f3 a Tukey para saber de d\u00f3nde hab\u00eda sacado la idea. Tukey le remiti\u00f3 a los trabajos de Yates y de Good, pero no apareci\u00f3 ning\u00fan uso previo del algoritmo. Se decidi\u00f3 entonces ponerlo en el dominio p\u00fablico para que nadie pudiera patentarlo: Shmuel Winograd y Ray Miller dise\u00f1aron un dispositivo de c\u00e1lculo basado en la FFT, y el art\u00edculo lo mencion\u00f3 en una nota al pie [2, 3]. Cooley invit\u00f3 a Tukey a firmar el trabajo, que envi\u00f3 a Mathematics of Computation<\/em> hacia agosto de 1964 y se public\u00f3 en abril de 1965 [1]. Garwin, por su parte, se encarg\u00f3 de difundir el programa entre sus contactos y de organizar seminarios en IBM [2].<\/p>\n

Conviene no exagerar el alcance de esa decisi\u00f3n. Publicar el algoritmo impide que alguien lo reivindique como novedad, pero no impide patentar implementaciones concretas, como procesadores dedicados a la FFT, y por entonces la patentabilidad de los algoritmos matem\u00e1ticos ya era discutible.<\/p>\n

No fueron los \u00fanicos en llegar a la idea. Gordon Sande conoci\u00f3 el m\u00e9todo en un curso de Tukey en 1963 y desarroll\u00f3 un programa y un art\u00edculo, que no lleg\u00f3 a publicar en su forma original al saber que el de Cooley y Tukey ya estaba enviado [2, 3]. Con Morven Gentleman public\u00f3 m\u00e1s tarde un an\u00e1lisis del error de la FFT [5], y su variante con diezmado en frecuencia se conoce hoy como algoritmo de Sande-Tukey. Philip Rudnick, por su parte, program\u00f3 el m\u00e9todo de Danielson y Lanczos, pero no lo public\u00f3 porque solo quer\u00eda analizar sus datos [2].<\/p>\n

Legado y conclusi\u00f3n<\/h5>\n

La FFT abarata la convoluci\u00f3n, gracias al teorema de convoluci\u00f3n, y con ella el filtrado digital y el an\u00e1lisis espectral. Hoy se usa en la modulaci\u00f3n OFDM de Wi-Fi, LTE y la televisi\u00f3n digital terrestre (IFFT en el transmisor y FFT en el receptor), en la reconstrucci\u00f3n de imagen de la resonancia magn\u00e9tica, en el filtrado de la tomograf\u00eda computarizada, en la codificaci\u00f3n de audio (MP3 emplea la transformada de coseno discreta modificada y un modelo psicoac\u00fastico basado en la FFT) y en la multiplicaci\u00f3n r\u00e1pida de enteros y polinomios.<\/p>\n

Hoy \u00abFFT\u00bb no es un \u00fanico algoritmo, sino una familia. Las implementaciones combinan radix mixto, split-radix, factores primos y los m\u00e9todos de Rader y de Bluestein para tama\u00f1os primos, y bibliotecas como FFTW eligen en tiempo de ejecuci\u00f3n la variante m\u00e1s r\u00e1pida para cada m\u00e1quina [7]. Gilbert Strang lleg\u00f3 a calificarla como \u00abel algoritmo num\u00e9rico m\u00e1s valioso de nuestra vida\u00bb [8].<\/p>\n

La idea tard\u00f3 m\u00e1s de siglo y medio en pasar de curiosidad de c\u00e1lculo a herramienta general. Cuando por fin lo hizo, fue porque un problema urgente exig\u00eda calcularla y porque se decidi\u00f3 publicarla sin trabas. Garwin se\u00f1al\u00f3 en 1969 lo dif\u00edcil que es que una t\u00e9cnica nueva llegue a usarse ampliamente [6], y Cooley recomendaba volver a mirar los trabajos antiguos, porque pueden contener ideas que solo la tecnolog\u00eda posterior sabr\u00e1 aprovechar [2].<\/p>\n

Nota: <\/em>Este ensayo se ha elaborado con la asistencia de un modelo de inteligencia artificial (Claude, de Anthropic, octubre de 2026).<\/em><\/span><\/p>\n

Referencias<\/h5>\n

[1]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Cooley, J.\u00a0W. y Tukey, J.\u00a0W. (1965). An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Mathematics of Computation<\/em>, 19(90), 297\u2013301.<\/p>\n

[2]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Cooley, J.\u00a0W. (1987). The re-discovery of the fast Fourier transform algorithm. Mikrochimica Acta<\/em>, III, 33\u201345.<\/p>\n

[3]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Cooley, J.\u00a0W. y Tukey, J.\u00a0W. (1993). On the origin and publication of the FFT paper. Current Contents<\/em>, 33(51\u201352), 8\u20139.<\/p>\n

[4]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Heideman, M.\u00a0T., Johnson, D.\u00a0H. y Burrus, C.\u00a0S. (1985). Gauss and the history of the fast Fourier transform. Archive for History of Exact Sciences<\/em>, 34, 265\u2013277.<\/p>\n

[5]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Gentleman, W.\u00a0M. y Sande, G. (1966). Fast Fourier transforms\u2014for fun and profit. AFIPS Proc. Fall Joint Computer Conference<\/em>, 29, 563\u2013578.<\/p>\n

[6]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Garwin, R.\u00a0L. (1969). The fast Fourier transform as an example of the difficulty in gaining wide use for a new technique. IEEE Trans. Audio and Electroacoustics<\/em>, AU-17(2), 68\u201372.<\/p>\n

[7]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Frigo, M. y Johnson, S.\u00a0G. (2005). The design and implementation of FFTW3. Proceedings of the IEEE<\/em>, 93(2), 216\u2013231.<\/p>\n

[8]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Strang, G. (1993). Wavelet transforms versus Fourier transforms. Bulletin of the American Mathematical Society<\/em>, 28(2), 288\u2013305.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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