Una epidemia es un estado de salud comunitaria que aparece cuando una enfermedad infecta a un número de individuos superior al esperado en el colectivo durante un tiempo determinado.

Desgraciadamente, a lo largo de la Historia, se han producido muchas epidemias de consecuencias trágicas. Mencionemos a título de ejemplo las cuatro siguientes: la peste de Justiniano (Constantinopla, hacia 540 D.C., causando la muerte de más de 4 millones de personas); la peste negra (extendida por Europa de 1347 a 1352, unos 50 millones de personas), la gripe española (extendida por el mundo entero debido al despliegue de tropas en la Primera Guerra Mundial, de 20 a 50 millones) y, finalmente, el virus de inmunodeficiencia adquirida, más conocido como el SIDA (detectado por primera vez en 1981 y también extendido por todo el mundo, causando la muerte de aproximadamente 25 millones de personas).

El lector comprenderá que es imposible abordar con seriedad este tema en una entrada. Tiene cientos de enfoques y derivaciones posibles. Así que me contentaré con hablar de algunas de las cosas que pueden hacer las Matemáticas para su análisis, para la descripción de su evolución y, también, para sugerir acciones paliativas.

El modelo SIR de Kermack  y McKendrick

 

Es interesante que se pueden conseguir beneficios en muchas situaciones razonablemente realistas. Los modelos más sencillos se deben a Kermack y McKendrick [1]. Son suficientemente simples como para ser entendidos por el común de los mortales. Tan sólo es necesario

• Comprender qué es una función del tiempo y qué es una derivada respecto del tiempo y

• Aceptar algunas premisas que, por otra parte, parecen razonables.

Para no aburrir al lector, me limitaré a presentar un modelo muy conocido, usualmente denominado SIR, que ha sido validado en múltiples ocasiones.

Digamos para empezar que una función del tiempo (y escribiremos \(F = F(t)\)) no es más que una «regla» que a cada instante de tiempo \(t\) asigna un número. Un ejemplo es el número de individuos infecciosos \(I = I(t)\) de una población donde se ha declarado una epidemia, por ejemplo medido en miles de personas.

La derivada de la función \(F\) en el instante \(t\), usualmente denotada \(F'(t)\), se debe interpretar como la velocidad con la que están cambiando los valores de \(F\) en dicho instante de tiempo. Por ejemplo, diremos que \(I'(t)\) es el número de individuos que pasan en la unidad de tiempo de no infecciosos a infecciosos (si es una cantidad positiva) o al revés, de infecciosos a no infecciosos (si es una cantidad negativa).

En el modelo SIR clásico, se supone que la población total es muy aproximadamente constante entre un instante inicial \(t = 0\) y otro final \(t = T\). Se denota \(N\) el número total de individuos y la población se divide en tres grupos, con números de individuos que cambian cuando cambia \(t\), es decir, tres funciones de \(t\),

\[S = S(t), \quad I = I(t), \quad R = R(t),\]

que se interpretan como los números de individuos susceptibles, infecciosos y recuperados (e inmunes). Se suponen conocidos los valores en \(t = 0\) y se admite que

\[ \left\{ \begin{array}{l}\displaystyle S’ = -\beta I S , \\ \displaystyle I’ = \beta I S – \gamma I,  \\ \displaystyle R’ = \gamma I \end{array} \right. \]

donde \(\beta\) y \(\gamma\) son constantes positivas.

Por ejemplo, cuando escribimos la primera de las ecuaciones precedentes, estamos diciendo que el número de individuos que pasa de susceptibles a no susceptibles en la unidad de tiempo es proporcional al número de “contactos” que puede haber entre un individuo infeccioso y otro susceptible.

Hay (al menos) tres problemas matemáticos interesantes ligados a este modelo:

1. El problema directo: se suponen conocidos los valores de las constantes \(\beta\) y \(\gamma\) y debemos probar rigurosamente que existe una única solución y, a continuación, calcular buenas aproximaciones de los valores de \(S(t)\), \(I(t)\) y \(R(t)\) para tiempos \(t\) futuros, entre \(0\) y \(T\).

2. El problema inverso: suponemos conocidos los valores «finales», es decir en el tiempo \(T\), de (por ejemplo) \(I\) y \(R\) . Tratamos ahora de identificar las constantes \(\beta\) y \(\gamma\) a partir de esta información.

3. El problema de control: aceptando que podemos influir con acciones desde el exterior en los valores que toman \(\beta\) y \(\gamma\) (por ejemplo con vacunas, confinamiento, etc.), tratamos de encontrar «buenos» valores de \(\beta\) y \(\gamma\) que hagan que (por ejemplo) \(I\) sea mínimo en el instante \(T\).

En la Fig. 2 se observa la manera en la que evolucionan la solución del modelo SIR en un caso particular.

Otros modelos más complejos

 

Cuestiones de este tipo se pueden plantear para modelos más avanzados (en ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales, deterministas o estocásticas, con o sin retardos, con o sin memoria, etc.)  y pueden dar respuesta certera en muchas situaciones.

Por ejemplo, podemos “complicar” el sistema SIR de varias maneras:

• Suponiendo que \(\beta\) y/o \(\gamma\) no son constantes, sino que varían con \(t\).

• O añadiendo nuevas variables o incógnitas, \(E = E(t)\) y \(Q = Q(t)\), que respectivamente nos dicen cuántos individuos están “expuestos” a la infección y cuántos son confinados en cada instante de tiempo y escribiendo nuevas ecuaciones acopladas a las anteriores que indican cuánto valen \(E’\) y \(Q’\).

• O suponiendo que las funciones \(S\), \(I\), etc. no sólo dependen de \(t\) sino también de dónde estamos contando individuos, es decir, de los puntos \(x\) de una región del plano.

• Podemos tener en cuenta también el efecto de la edad de los individuos, la presencia de sistemas de vacunación y tratamiento, la estructura social de la población, …

  

En particular, si aceptamos que los individuos están distribuidos a lo largo y ancho de un hábitat de grandes dimensiones y la población de susceptibles es inicialmente suficientemente grande, aparecen soluciones cuyo comportamiento es de la forma \(S \approx \hat S(x-ct)\), \(I \approx \hat I(x-ct)\) para determinados valores de \(c\); véanse las Fig. 3 y 4 para una ilustración gráfica.

Estas soluciones se propagan como ondas planas con velocidad \(c\) y se denominan ondas epidémicas. Se puede interpretar en este caso que las infecciones avanzan con velocidad \(c\). Y se puede establecer una conexión de este comportamiento ondulatorio con los distintos brotes de peste que tuvieron lugar en Europa en el pasado: las plagas de Islandia (1402-1404), Londres (1592-1594), Milán (1629-1631), Sevilla (1649-1650), etc.

Para más información, véase por ejemplo [2, 3]. Para un análisis detallado de los modelos que permiten describir la pandemia de COVID-19, causada por el virus SARS-CoV-2, véase [4].

Nota: La imagen destacada ha sido tomada de CDC (Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades, Gobierno de EEUU):

https://espanol.cdc.gov/covid/about/index.html.

Para saber más: algunas referencias

 

[1] W. O. Kermack & A. G. McKendrick, «A contribution to the mathematical theory of epidemics», Proceedings of the Royal Society of London Series A, 115: 700-721, 1927.

[2] F. Brauer, C Castillo-Chávez, “Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology”, NY: Springer, 2001.

[3] D.J. Daley, J. Gani, J., “Epidemic Modeling. An Introduction”, NY: Cambridge University Press, 2005.

[4] E.A. Hernández-Vargas, J.X. Velasco-Hernández, “Mathematical Modeling, Simulations, and AI for Emergent Pandemic Diseases. Lessons Learned From COVID-19”, Academic Press, London, 2023.