Los primeros indicios de vida en nuestro planeta tienen una edad de más de 3.500 millones de años. Desde entonces hasta hoy, se han diversificado los modelos estructurales de los seres vivos y su actividad orgánica que obedecen en muchas ocasiones a patrones matemáticos. He aquí un ejemplo que no por bien conocido es menos extraordinario, y tiene que ver con las propiedades de eficiencia del hexágono regular.
Imaginemos una abeja que dispone de 100 metros de cera y debe decidir si construye en triángulos, cuadrados o hexágonos regulares, con todos sus lados y ángulos iguales. Si se decide por un triángulo equilátero, cada lado (\(l\)) será de 33,33 metros y podrá rodear un área (\(A=0.86602540\ l^2/2\)) de poco más de 481 \(m^2\). Mientras que si se decide por un cuadrado, cada lado (\(l\)) tendrá 25 metros y podrá rodear un área (\(A=l^2\)) de 625 \(m^2\); esto supone un ganancia en superficie con el mismo gasta de cera de casi un 30%. Pero si es elegido el hexágono regular, cada lado tendrá 16,66 metros y su área interior (\(A=5,19615242\ l^2/2\)) será de algo más de 721 \(m^2\). Comparado con el cuadrado, la abeja ganaría entonces más de un 15% de superficie “vallada” con la misma cantidad de cera. Una medida eficiente.
El gran matemático Pappus de Alejandría, en el siglo IV, reconoció esta sagacidad de las abejas en su Colección Matemática, un compendio en ocho libros algo heterogéneo pero de gran valor histórico y metodológico. En el libro V, donde Pappus estudia algunos problemas isoperimétricos (esto es, qué figuras del mismo perímetro encierran áreas mayores), hace una mención explícita al conocimiento intuitivo que tienen las abejas sobre estos problemas, que les permite elegir por una especie de sabiduría instintiva el hexágono con preferencia al triángulo o al cuadrado, que son los otros polígonos regulares que permiten rellenar un plano. No sin cierta poesía, Pappus explica así el proceder de las abejas: «Las abejas entienden que no es apropiado verter su ambrosía de cualquier forma sobre el suelo o en la madera o cualquier otro material feo o irregular. Todo lo contrario, primero recogen la dulzura de las más bellas flores que crecen sobre el terreno, con la que fabrican miel, además de unas vasijas para su contención, a las que llamaremos paneles y que están constituidas por celdas iguales, similares y contiguas unas con otras y de forma hexagonal. Y habrán procedido así guiadas por una cierta intuición geométrica que bien pudiera haber sido la siguiente. Habrán intuido que las celdas deben ser necesariamente contiguas, con lados comunes, para evitar que materia extraña pueda entrar por los intersticios y contaminar la pureza de su producto. Entonces habrán también intuido que hay solo tres figuras regulares de lados rectos y de igual área con la que hacer estas configuraciones: triángulos, cuadrados y hexágonos; y de ellas han elegido al hexágono para construir sus paneles porque intuirían que al formar sus lados ángulos mayores contendrían más miel que las otras dos figuras. Así, las abejas conocen y usan en su beneficio el hecho de que el área del hexágono es mayor que la del cuadrado o el triángulo y que contendrá más miel con el mismo gasto de material usado en su construcción».
Posiblemente Pappus no era consciente de hasta qué punto las abejas aciertan al elegir el hexágono para la construcción de sus paneles, porque las propiedades isoperimétricas del hexágono regular van mucho más allá de su comparación con el triángulo o el cuadrado. De hecho, andando el tiempo se conjeturó que, de todas las subdivisiones del plano en regiones de igual área, es el enlosado con hexágonos regulares el que tiene menor perímetro total. Con mucha razón poética, a esta conjetura se la denominó conjetura del panal. Hasta 1999, hace relativamente poco tiempo, no se demostró la conjetura con total generalidad. La demostración se debe a Thomas C. Hales, aunque había habido con anterioridad avances parciales, como el considerado por Pappus para enlosados con triángulos, cuadrados y hexágonos regulares, o mucho más recientemente, el de László Fejes Tóth que demostró la conjetura suponiendo que cada celda es un polígono convexo.
El hexágono tiene múltiples aplicaciones en la vida cotidiana. Las estructuras hexagonales son básicas para la creación de materiales compuestos que precisen ser fuertes y ligeros, como la fibra de carbono, los paneles solares, los balones de fútbol (20 hexágonos y 12 pentágonos) o en numerosos diseños de moda o joyería.
