El pasado 26 de marzo, la Academia Noruega de Ciencias y Letras hizo público el nombre del ganador del Premio Abel 2025: el Profesor Masaki Kashiwara, del Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) de la Universidad de Kyoto y del Kyoto University Institute for Advanced Study (KUIAS).
El Premio Abel, junto con las Medallas Fields, son las máximas distinciones en Matemáticas, aunque ambos galardones tienen características distintas. Las Medallas Fields se instituyeron en 1936 y son otorgadas cada cuatro años por la Unión Matemática Internacional, coincidiendo con la celebración del Congreso Internacional de Matemáticos. En cada ocasión, se conceden hasta cuatro medallas que buscan reconocer las contribuciones más relevantes desde la edición anterior. Conllevan una dotación de 15.000 dólares canadienses y entre sus reglas figura una muy especial: los galardonados han de tener menos de 40 años. Predomina así la identificación de los avances concretos más importantes de las Matemáticas, sobre las trayectorias científicas de los investigadores.
El Premio Abel, por su parte, fue instituido en el año 2002, coincidiendo con el segundo centenario del nacimiento de Niels Henrik Abel. Abel fue un matemático noruego excepcional que murió a los 26 años y que nos ofreció aportaciones tales como la imposibilidad de resolver la ecuación polinómica de grado 5 (o mayor) mediante fórmulas radicales (del estilo de la bien conocida de segundo grado) -problema abierto durante más de 250 años-, o la teoría de las funciones abelianas. Ya a finales del siglo XIX, otro matemático noruego, Sophus Lie, intentó crear un premio en memoria de Abel. Esto ocurría casi al mismo tiempo en que Alfred Nobel pensaba en no incluir en sus premios a las Matemáticas. Pero no fue hasta 2002 cuando el Gobierno noruego dio el paso e instituyó el premio, encargando de su gestión a la Academia Noruega de Ciencias y Letras. El Premio Abel se concede anualmente y está dotado con 7,5 millones de coronas noruegas (equivalentes a 770.000 euros), similar a la de los Premios Nobel. El principal objetivo del Premio Abel es reconocer las trayectorias con logros científicos pioneros en las Matemáticas. Asimismo, el Premio pretende reforzar el estatus de las matemáticas en la sociedad y estimular a niños y jóvenes a interesarse por ellas.
Y la pregunta obligada: ¿por qué no existe un Premio Nobel de Matemáticas? Aunque no podamos tener una respuesta concluyente al cien por cien, y aun habiendo circulado teorías que aludían a un enfrentamiento entre Alfred Nobel y el influyente matemático sueco Gösta Mittag-Leffler (alguna de ellas con tintes morbosos), la opinión más extendida es que sencillamente las Matemáticas no estaban dentro de los intereses de Nobel, inventor e industrial, cuyo principal objetivo era premiar aquellos «inventos o descubrimientos» de mayor beneficio práctico para la humanidad
Pero volvamos al objetivo de esta entrada. Según ha publicado la Academia Noruega, el Profesor Masaki Kashiwara ha sido galardonado con el Premio Abel 2025 “por sus contribuciones fundamentales al análisis algebraico y a la teoría de representaciones, en particular el desarrollo de la teoría de D-módulos y el descubrimiento de las bases cristalinas (crystal bases)”.
En contraste con otras disciplinas científicas, en Matemáticas no existe un faro común que las guíe. Aun a costa de una gran simplificación, en Física existe una cuestión central: la comprensión de las leyes que gobiernan la materia y la energía, desde las partículas elementales hasta el propio Universo. En Química, es la comprensión de las leyes que gobiernan las moléculas y sus combinaciones. En Biología, se trata de la comprensión de lo que es la vida, su estructura y su evolución. Pero en Matemáticas no existe una cuestión central propiamente dicha. Hay, eso sí, un lenguaje común y herramientas compartidas, pero con multitud de objetivos -en principio- desconectados. Por eso en Matemáticas apreciamos de manera muy especial aquellos descubrimientos capaces de conectar áreas o problemas alejados entre sí. Podemos entrever un deseo implícito de unificación.
Las contribuciones de Kashiwara son muy amplias y se reparten esencialmente en dos temáticas. En esta entrada nos centraremos en la primera de ellas, que se inscribe en lo que su maestro Mikio Sato denominó Análisis Algebraico, y más concretamente, en la Teoría de D-módulos.
Las ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) constituyen una importantísima parcela del Cálculo Infinitesimal, o como hoy lo conocemos, del Análisis Matemático. Son una herramienta insustituible para la modelización de la práctica totalidad de los fenómenos naturales, empezando por sus orígenes en la Mecánica, y continuando con la Física, la Química, la Ingeniería, y más recientemente con la Biología, además de la Economía, las Ciencias Sociales o la Inteligencia Artificial. Pero las ecuaciones diferenciales son también esenciales dentro de las propias Matemáticas. Por ejemplo, ayudan a comprender la dependencia de las formas geométricas respecto de los parámetros.
Del mismo modo que las ecuaciones algebraicas o analíticas (en una o varias variables) alcanzaron una simbiosis con los métodos del Álgebra y alumbraron la Geometría Algebraica y la Geometría Aritmética a lo largo del siglo XX, Sato emprendió en la década de 1960 una revolución silenciosa, comenzando con la Teoría de las hiperfunciones y el Análisis microlocal. Se trataba de utilizar los métodos más sofisticados en aquel entonces del Álgebra, el Álgebra Homológica y la Teoría de Haces para estudiar los sistemas lineales de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes analíticos.
El aspecto de una ecuación, del tipo que sea, esconde en general el comportamiento de sus soluciones. Un simple cambio de sistema de referencia puede dar lugar a ecuaciones de aspecto completamente diferente, aun siendo en el fondo “la misma ecuación”. Kashiwara, guiado por su mentor Sato, revolucionó la teoría de los sistemas lineales de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes analíticos interpretando estos como módulos sobre el correspondiente anillo de operadores diferenciales, de ahí la denominación Teoría de D-módulos, de manera que aquellos podían estudiarse intrínsecamente, independientemente de los sistemas de referencia. Esta interpretación permitía, cómo no, incorporar una versión intrínseca de las soluciones, pero lo que resultó verdaderamente innovador fue la aparición de las soluciones de orden superior. Las soluciones de orden 0 corresponden a las soluciones clásicas de los sistemas homogéneos; las de orden 1 miden la obstrucción para resolver los sistemas no homogéneos; y así hasta soluciones de orden igual al número de variables de nuestro sistema.
Este nuevo panorama se plasmó en la tesis de máster de Kashiwara, defendida en 1970 cuando tenía 23 años. En ella demostró una versión generalizada (para las soluciones superiores) del clásico teorema de Cauchy-Kovalevskaya y comenzó el estudio puramente algebraico de los anillos de operadores diferenciales y de sus correspondientes módulos.
A partir de entonces, Kashiwara se concentró en el desarrollo de esta teoría. Demostró el Teorema de constructibilidad, en el que se establece que los espacios de soluciones superiores de los sistemas holónomos (sistemas especialmente importantes, en los que, a muy grandes rasgos, el número de ecuaciones independientes coincide con el de incógnitas y con el de coordenadas) tienen dimensión finita; cabe señalar que Z. Mebkhout y el autor de esta entrada dieron una demostración geométrica de este resultado en 1989, independiente de las herramientas de los sistemas elípticos utilizadas por Kashiwara. Igualmente, Kashiwara demostró el Teorema del índice, en el que se da una relación precisa entre las dimensiones de las soluciones superiores de estos sistemas y ciertos invariantes algebro-geométricos de sus singularidades, es decir de su variedad característica.
Kashiwara también dio la definición correcta de las operaciones geométricas (imagen directa e imagen inversa) para los D-módulos y probó los correspondientes teoremas de finitud, pero el resultado más extraordinario en esta línea fue la prueba de la correspondencia de Riemann-Hilbert (demostrada independientemente por Z. Mebkhout), que establece que los sistemas holónomos con singularidades regulares pueden reconstruirse a partir de sus soluciones superiores (esto no es posible si solo se consideran las soluciones clásicas). Este resultado, que data de 1980, aunque no se publicó definitivamente hasta 1984, impulsó a la Teoría de D-módulos al primer plano de la Geometría Algebraica y la Teoría de Singularidades. Con él se cerraba un ciclo que había comenzado con la formulación clásica del problema (el número 21 de la lista de Hilbert, de 1900) y sobre el que Pierre Deligne en 1970 ya había realizado un avance fundamental al extenderlo a dimensión arbitraria, pero soslayando siempre el estudio de las soluciones allí donde nuestro sistema tiene singularidades (Deligne obtuvo la Medalla Fields en 1978 y el Premio Abel en 2013). Fue la Teoría de D-módulos la que permitió dar el salto, utilizando para ello las susodichas soluciones superiores y, por supuesto, la maquinaria del Álgebra Homológica de Alexander Grothendieck y de sus aplicaciones a la Geometría Algebraica (Grothendieck obtuvo la Medalla Fields en 1966).
Era claro que un resultado del porte de la correspondencia de Riemann-Hilbert iba a tener enormes consecuencias, y las expectativas no tardaron en hacerse realidad. M. Goresky y R. MacPherson habían descubierto algunos años antes, en el contexto de la Topología Algebraica, la Cohomología de Intersección (definida mediante las denominadas “funciones de perversidad”), con la que extendieron la Dualidad de Poincaré a los espacios singulares. Por sugerencia de P. Deligne y J.L. Verdier, ambos autores describieron la cohomología de intersección de manera conceptual a través del denominado complejo de intersección y, ¡maravilla de las maravillas!, dicho complejo resultó ser el complejo de soluciones superiores de un cierto D-módulo holónomo regular, entroncando así con la correspondencia de Riemann-Hilbert y dando lugar a lo que se llamaría -jocosamente-, la Teoría de los haces perversos.
A partir de esta extraordinaria e inesperada conexión, Kashiwara y J.L. Brylinsky probaron en 1981 la conjetura de Kazhdan-Lusztig (que también fue probada independientemente por J. Bernstein y A. Beilinson utilizando ideas similares, basadas también en la Teoría de D-módulos), uno de los resultados más buscados en la época dentro de otra gran área de las Matemáticas: la Teoría de las Representaciones de Grupos (el trabajo de Murray Gell-Mann, Premio Nobel de Física en 1969, sobre los quarks y sus predicciones se fundamenta en las representaciones de grupos; desde entonces, estas tienen un enorme protagonismo en el Modelo Estándar de la Física de partículas).
Fue así como Kashiwara se adentró por un nuevo camino, que ha marcado su trayectoria desde entonces y en la que ha realizado contribuciones fundamentales, como las denominadas bases cristalinas asociadas a los grupos cuánticos.
Pero sería imposible describir el trabajo de Kashiwara sin mencionar a su más cercano colaborador, Pierre Schapira, con quien ha publicado algunas obras de referencia hoy por hoy imprescindibles. Y para concluir, mencionamos el trabajo reciente de Kashiwara y A. D’Agnolo, en el que, tras un verdadero tour de force, establecen una correspondencia de Riemann-Hilbert para los D-módulos con singularidades irregulares, generalizando el caso de la dimensión 1 demostrado por B. Malgrange en 1990.
El trabajo de Kashiwara es, ante todo, excepcional, pero ilustra también el particular proceso del avance científico en Matemáticas que, aun compartiendo muchas características con el de otras disciplinas científicas, presenta singularidades notorias. En Matemáticas tratamos con objetos que no percibimos con nuestros sentidos, sino con nuestro intelecto. Son por tanto abstractos, pero al mismo tiempo su definición y sus reglas son absolutamente precisas, y su creación suele inspirarse -directa o indirectamente- en “objetos reales”. Paralelamente, las Ciencias Naturales, y también las Ciencias Sociales, nos han ido mostrando a lo largo de su evolución que los “objetos reales” que estudian son a menudo mucho más complejos que lo que indicaba nuestra percepción inicial. Por esta razón, cada vez más, las disciplinas científicas necesitan para su desarrollo la plasticidad de las nociones y de las teorías matemáticas; así, un electrón no es ya una “bolita” de materia que gira alrededor del núcleo del átomo, es una función de onda.
Todo ello es posible gracias al trabajo de los matemáticos que mantienen a punto el vasto edificio en el que habitan, cuyos cimientos tienen siglos -incluso milenios-, y de los que, en esta primavera de 2025, Masaki Kashiwara ha sido señalado como nuestro representante más distinguido… hasta la próxima primavera.
