En ocasiones, para poder entender los avances más significativos en un área de las Matemáticas es necesario haber dedicado mucho tiempo y esfuerzo hasta llegar a la comprensión profunda de definiciones, propiedades y teoremas. Sin embargo, hay ramas de las Matemáticas con una belleza particular: áreas en las que los objetos de estudio son visuales e intuitivos, y donde incluso problemas abiertos durante décadas (o siglos) pueden ser apreciados y comprendidos sin necesidad de conocimientos avanzados. Esta entrada está dedicada a una de estas áreas: la Teoría de nudos.
¿QUÉ ES UN NUDO MATEMÁTICO?
Podemos pensar en un nudo matemático como una cuerda anudada cuyos extremos se han pegado. Así, una vez pegados sus extremos, la cuerda no tiene principio ni fin, y el nudo que hemos hecho en la cuerda no puede deshacerse. En la imagen vemos tres ejemplos de nudos matemáticos.
Ahora, supongamos que tenemos dos cuerdas, entregamos cada una a una persona, y les pedimos que, de manera independiente, aten la cuerda que se les ha dado de la forma que quieran y, cuando hayan terminado, peguen los extremos de la cuerda. El resultado son dos nudos, que llamamos \(N_1\) y \(N_2\). El problema que nos planteamos es: ¿es posible transformar el nudo \(N_1\) (estirando la cuerda, retorciéndola, doblándola…) en el nudo \(N_2\) sin necesidad de cortar la cuerda? Si la respuesta es afirmativa, diremos que ambos nudos son equivalentes y, para la Teoría de nudos, serán indistinguibles. El problema de la clasificación de nudos consiste en determinar cuándo dos nudos son equivalentes, y es un problema fundamental de la Teoría de nudos.
Pero ¿de dónde viene este interés matemático en la clasificación de nudos?
UN POCO DE HISTORIA
El origen de la Teoría de nudos viene de la mano de la Física y la Química. En el siglo XIX, el físico-matemático británico William Thompson (1824-1907) – más conocido como Lord Kelvin – propuso un modelo atómico en el que los átomos eran representados por vórtices anudados en el éter, una sustancia hipotética que llenaba el Universo. Según su modelo, cada nudo estaría asociado a un tipo de átomo distinto, por lo que clasificar nudos equivaldría a clasificar tipos de átomos, lo que daría lugar a una primera tabla periódica de los elementos. Esta idea impulsó al matemático Peter Guthrie Tait a trabajar en el análisis de la clasificación de nudos. Aunque el modelo atómico de Kelvin fue refutado, el problema de la clasificación de nudos quedó formulado como problema matemático.
CLASIFICANDO CURVAS
En lenguaje matemático, un nudo es un embebimiento de una circunferencia \(S^1\) en el espacio tridimensional \(\mathbb{R}^3\). Es decir, se trata de una curva cerrada simple (esto es, que no se corta a sí misma) en el espacio de tres dimensiones. Estudiar si, dadas dos curvas cerradas simples en \(\mathbb{R}^3\), es posible deformar una de ellas en la otra es precisamente el problema de la clasificación de nudos.
No es difícil probar que existen infinitos nudos distintos (no equivalentes), lo que contrasta con lo que sucede al estudiar curvas en espacios de otras dimensiones.
Por ejemplo, en el plano de dos dimensiones, que llamamos \(\mathbb{R}^2\), cualquier curva cerrada simple puede deformarse de manera continua (es decir, estirándola, retrayéndola… sin que se corte a sí misma) hasta parecerse a otra. Por eso, en el plano todas las curvas son equivalentes o, dicho de otro modo, existe una única forma de incrustar una curva cerrada simple en el plano \(\mathbb{R}^2\). Sin embargo, si consideramos el plano y le quitamos un punto P (el plano punteado), la intuición nos dice que no todas las curvas son equivalentes. Tenemos dos familias de curvas cerradas simples: las que rodean el punto P (se llaman esenciales) y las que no, y dentro de cada una de estas dos familias, todas las curvas son equivalentes.
Podríamos considerar curvas en otros espacios de dimensión 2: la esfera (donde todas las curvas pueden deformarse hasta tomar la forma del ecuador y, por tanto, son equivalentes), el plano al que quitamos una cantidad finita de puntos, la superficie de un flotador (que llamamos toro)… Estos casos son bien conocidos en Matemáticas (el grupo fundamental del espacio juega un papel relevante en este análisis).
NUDOS Y DIAGRAMAS
Aunque los nudos viven en el espacio de 3 dimensiones, a veces es conveniente representarlos mediante diagramas planos: proyecciones del nudo sobre el plano en las que, en cada cruce, señalamos con un trazo discontinuo qué trozo de cuerda está más lejos del foco desde el que se proyecta. En la Figura 2 tenemos tres diagramas que representan los tres nudos de la Figura 1.
Observemos que, dado un nudo, podemos elegir distintos focos desde los que proyectar para obtener un diagrama. Además, podemos deformar el nudo original (obteniendo un nudo equivalente) antes de proyectar, con lo que obtendríamos un nuevo diagrama que, en esencia, representa el nudo original. Así, cada nudo puede ser representado por infinitos diagramas.
El matemático alemán Kurt Reidemeister demostró en 1927 que dos diagramas representan el mismo nudo siempre y cuando estén relacionados por una sucesión finita de transformaciones, hoy conocidas como movimientos de Reidemeister, que se muestran en la siguiente imagen:
Debemos entender cada movimiento de Reidemeister como un cambio en una porción del diagrama que no modifica la parte del diagrama que no aparece en el entorno dibujado. Por ejemplo, los diagramas \(D_1\) y \(D_2\) de la imagen son equivalentes, pues podemos pasar de uno a otro usando tres movimientos de Reidemeister (uno de cada tipo).
El Teorema de Reidemeister da una solución teórica al problema de la equivalencia de diagramas (y, por tanto, de nudos): si encontramos una sucesión finita que conecta dos diagramas, ya sabemos que representan nudos equivalentes. Pero, ¿qué sucede si no la encontramos? ¿Cómo podemos estar seguros de que tal sucesión no existe?
Es en este contexto en el que aparecen los invariantes.
INVARIANTES DE NUDOS
Los invariantes son herramientas que nos permiten asociar a cada nudo un valor (puede ser un número, un polinomio, un grupo, un espacio topológico…) de manera que dos nudos equivalentes tengan asociado el mismo valor. Así, si dos nudos tienen asociados valores distintos, podemos concluir que ambos nudos son distintos (no equivalentes).
Un ejemplo de invariante es el índice poligonal, que corresponde al menor número de varillas rígidas unidas entre sí que debemos emplear para construir el nudo. En la imagen vemos los índices poligonales de los primeros 8 nudos en la llamada Tabla de Rolfsen.
El número de cruce de un nudo es otro invariante. Se define como el menor número de cruces que tiene un diagrama que represente al nudo. En otras palabras, el número de cruce de un nudo es k si podemos representarlo con un diagrama con k cruces, pero no con menos.
En general, determinar el número de cruce de un nudo no es sencillo. Tait conjeturó que los diagramas alternantes (aquellos en los que, al recorrer la curva, vamos pasando alternativamente por encima y por debajo cada vez que encontramos un cruce, como en los diagramas de la Figura 2) y reducidos son minimales para el número de cruces de los nudos que representan. Dicho de otro modo, si encontramos un diagrama alternante y reducido que representa un nudo, entonces no existe otro diagrama con menos cruces que lo represente.
Esta conjetura estuvo abierta, a la espera de una prueba o de un ejemplo que demostrara su falsedad, durante más de 80 años. En 1984 Vaughan Jones introdujo un invariante polinómico, conocido como polinomio de Jones, que permitió demostrar la conjetura, por lo que su enunciado ya es un teorema. El polinomio de Jones supuso una gran revolución, no sólo en Teoría de nudos, sino en otras áreas de las Matemáticas y la Física, especialmente en Mecánica Cuántica y Teoría Cuántica de Campos. Por ello, Jones fue galardonado con la Medalla Fields, el máximo reconocimiento de la comunidad matemática internacional.
MÁS ALLÁ DE LA CLASIFICACIÓN DE NUDOS
La Teoría de nudos tiene implicaciones en otras ramas de las Matemáticas: por ejemplo, ayuda a clasificar espacios de dimensiones superiores, tiene una relación directa con los grupos de trenzas, y aparece frecuentemente en el estudio de singularidades, también en Geometría Diferencial…
Además, como ya mencionamos en el caso de la Física, ayuda a resolver problemas en otras áreas más aplicadas. En Biología Molecular tiene aplicaciones en el estudio del ADN (cuyas cadenas aparecen frecuentemente enrolladas e incluso anudadas, de manera parecida a los cables de los teléfonos antiguos) y en el análisis de la acción de las topoisomerasas – enzimas que manipulan la doble hélice de ADN, simplificando la forma en que se enreda.
También resulta crucial en el estudio de la quiralidad de moléculas, así como para comprender las propiedades de moléculas con igual configuración pero distintos grafos moleculares, y descubrir cómo sintetizarlas; en particular, los trabajos de Jean-Pierre Sauvage sobre este tema le hicieron merecedor del Premio Nobel de Química en 2016.
Para más información sobre invariantes, curiosidades, y aplicaciones de la Teoría de nudos, se puede consultar [2].
Referencias:
[1] Adams, C. (1994). The Knot Book. American Mathematical Society.
[2] Mulero, J., Segura Abad, L., y Sepulcre Martínez, J. M. (2025). Matemáticas infinitas. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Alicante. Capítulo “Nudos, trenzas y otros enredos”, por M. Silvero.
[3] Wasserman, S., Dungan, J. y Cozzarelli, N. (1985). Discovery of a predicted DNA knot substantiates a model for site-specific recombination. Science 229: pp. 171-174.
