El cubo de Rubik

Descripción e historia

El cubo de Rubik es un rompecabezas mecánico tridimensional creado por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernö Rubik en 1974. Se considera que es el rompecabezas (y de hecho el juguete) más vendido; en 2020 había unos 450 millones de cubos repartidos por todo el mundo.

Su estructura es relativamente simple: en su versión clásica, el cubo posee seis colores uniformes y se divide en $3 \times 3 \times 3$ pequeños elementos; un mecanismo de ejes permite a cada cara girar independientemente, mezclando así los colores; el objetivo consiste en conseguir que cada cara quede de un solo color.

Parece que las motivaciones que guiaron a Rubik fueron por una parte su interés por la geometría descriptiva y, por otra, su acercamiento a los juegos de ingenio. El cubo fue inicialmente producido en 1977 en Hungría y, posteriormente, a finales de 1979 y comienzos de 1980, se hizo conocido en todo el mundo. Como cabía esperar, el proceso se vio acompañado de varias disputas sobre la patente.

Posiciones y soluciones

Cada posición global del cubo corresponde a una permutación de las caras individuales. El número total de permutaciones admisibles es $$\dfrac{8! \cdot 12! \cdot 3^7 \cdot 2^{11}}{2} \approx 43 \cdot 10^{18}$$($8!$ combinaciones de vértices con $3^7$ orientaciones distintas, $12!/2$ combinaciones de las aristas con $2^{11}$ orientaciones distintas). Así, queda claro que para llegar de una posición inicial arbitraria a la posición final deseada (cada cara un color), es necesario implementar un algoritmo adecuado nada trivial.

El método más conocido se debe a David Singmaster (véase [1]). Se basa en resolver, es decir, ordenar colores, capa tras capa (de arriba a abajo). Una estrategia alternativa consiste en tratar en primer lugar las esquinas; y otros métodos combinan o mezclan las técnicas.

También existen soluciones “rápidas”. De hecho, el método más utilizado por los aficionados, conocido como «método Fridrich» o «CFOP», requiere cincuenta y seis movimientos de promedio. Otra solución muy conocida fue desarrollada por Lars Petrus. En ella, se resuelve primero una sección de 2×2×2, después otra de 2×2×3 y luego las aristas colocadas incorrectamente se recolocan usando un algoritmo de tres movimientos. Una de las ventajas de esta técnica es que tiende a dar soluciones más simples. Por esa razón, el método es popular en concursos basados en números de movimientos.

Véanse también los métodos de Marshall y Heise, respectivamente en [2] y [3].

Desde siempre, ha tenido interés saber cuál es el número mínimo de movimientos $N_D$ que hay que realizar para resolver el cubo partiendo de cualquier configuración. Por algún motivo, esta cantidad se conoce como “el número de Dios”.

Se han demostrado distintas estimaciones (inferiores y superiores) de $N_D$ a lo largo de los años:

Morwen Thistlethwaite, profesor de Matemáticas de la Universidad de Tennessee, demostró en 1981 que $N_D \leq 52$. Por otra parte, se sabe desde ese año que $N_D \geq 18$.
En etapas posteriores, esta cota fue mejorada hasta llegar a $29$ (Michael Reid en 1995), $26$ (Silviu Radu en 2005) y $22$ (Tomas Rokicki en 2008).
Finalmente, en 2010, un equipo británico de la Universidad de Kent liderado por el Profesor Morley Davidson ha demostrado con ayuda de un superordenador cedido por Google, que $N_D = 20$.

El resultado conseguido ha sido consecuencia de un análisis exhaustivo de las más de $43 \cdot 10^{18}$ posibles posiciones de partida. Usando equivalencias geométricas (simetrías), el número de casos queda “reducido” a unos $55$ millones. Gracias a la potencia del ordenador utilizado, el trabajo fue posible y el enigma quedó cerrado.

Concursos y plusmarcas

Se denomina speedcubing (o speedsolving) al arte de resolver un cubo de Rubik en el menor tiempo posible. Existen muchas competiciones de speedcubing en todo el mundo.

La primera de ellas se llevó a cabo en Múnich el 13 de marzo de 1981 y el ganador oficial, con una marca de $38$ segundos, fue Jury Froeschl. El primer torneo mundial internacional se llevó a cabo en Budapest en 1982, ganado por Mihn Thai, un estudiante vietnamita de Los Ángeles, con un tiempo de $22.95$ segundos.

Desde 2003, cuenta como marca el promedio de tiempo tras 5 intentos, aunque también queda registrado el mejor de todos los tiempos.

Las tres mejores marcas conseguidas hasta la fecha son las siguientes:

Yusheng Du (Vietnam) en 2018, con $3.47$ segundos
Max Park (USA), un joven de 21 años diagnosticado con autismo, en 2023, con $3.134$ segundos y
Yiheng Wang (China), un niño de 11 años en 2025, con $3.08$ segundos.

Recientemente, Mitsubishi Electric ha presentado un robot capaz de pulverizar todas estas marcas, dejando el “record inhumano” en $0.305$ segundos (el anterior robot, diseñado en el Massachussetts Institute of Technology, había conseguido un tiempo nada despreciable de $0.380$ segundos).

Los campeonatos de speedcubing que se celebran hoy día incluyen varias modalidades:

Resolución con ojos vendados.
Resolución con una mano.
Rseolución por equipos (una persona con los ojos vendados y otra indicando los giros (blindfolded teams).
Resolución bajo el agua en una sola respiración.

Otros cubos de Rubik

Existen muchas variantes con diverso número de capas. Las principales versiones no clásicas son las siguientes: el cubo $4 \times 4 \times 4$ (La venganza de Rubik), el $5 \times 5 \times 5$ (El cubo del profesor); y, desde 2008, el $6 \times 6 \times 6$ y el $7 \times 7 \times 7$.

La empresa Shengshou lanzó al mercado a principios de 2012 cubos de $n \times n \times n$ con $n = 8, 9,10$.

También hay paralelepípedos $1 \times 1 \times 2$, $1 \times 2 \times 2$, $2 \times 2 \times 3$, etc. y otros cubos mayores como el $11 \times 11 \times 11$.

En formato electrónico, el cubo clásico también existe; véase por ejemplo el TouchCube en [4].

Indiquemos finalmente que los fundamentos del cubo han servido también para el diseño de otros rompecabezas que poseen formas geométricas distintas (tetraedros, octaedros, icosaedros, etc.); véase por ejemplo [5] y las referencias allí citadas.