En los años 90 del siglo pasado nuestro grupo de investigación mantuvo una larga colaboración científica con los laboratorios de la empresa Xerox Corporation en Webster, Nueva York, cerca de la ciudad de Rochester. Varios miembros del grupo, liderado entonces por el Profesor Antonio Castellanos, hicimos estancias de investigación más o menos largas en las instalaciones que Xerox tenía en Webster. Estas instalaciones ocupaban un polígono industrial, exclusivo de la compañía, de unas 400 hectáreas. Uno de los edificios albergaba laboratorios de investigación en los que trabajaban físicos, químicos, ingenieros y técnicos especialistas. Allí desarrollábamos nuestra labor.
El Dr. Keith Watson, que llevaba varias décadas en la compañía, era nuestro contacto y fue él quien nos propuso la línea inicial de investigación. La cuestión que se planteaban los ingenieros de la compañía desde hacía tiempo era la de mejorar la calidad y resolución de las fotocopias. En una máquina xerográfica la imagen se forma fundiendo sobre el papel el tóner. El tóner está formado por pequeños granos, normalmente de un polímero, pigmentados. El tamaño del grano es uno de los factores que determinan la resolución de la imagen, ya que no se pueden reproducir detalles más pequeños que este tamaño. La industria buscaba, por lo tanto, hacer los granos más y más pequeños cada vez. Pero en esta búsqueda de granos más pequeños se encontraron con una dificultad inesperada: el tóner se apelmazaba, formando grumos que atascaban los dispensadores e impedían que el polvo se distribuyera uniformemente sobre el papel. En el lenguaje que pronto aprendimos a manejar se dice que el polvo se volvía más y más cohesivo al disminuir el tamaño de los granos que lo componían.
Nuestra misión en Xerox era comprender la física que había detrás de estas dificultades. Uno de los resultados más relevantes de nuestras investigaciones fue el diagrama de regímenes de flujo de materiales granulares cohesivos, que mostramos en la figura 1 y publicamos en la revista Physical Review Letters [1].
Un medio granular es uno que está compuesto de partículas sólidas. La arena, un saco de arroz, la gravilla que se usa en construcción o un puñado de lentejas son ejemplos de materiales granulares. El tamaño de las partículas es muy variable y puede ir desde los centímetros hasta las micras. Los materiales granulares pueden fluir de distintas formas. En nuestro trabajo distinguíamos cuatro regímenes de flujo: plástico, inercial, fluidizado y partículas en suspensión. El que se presente un tipo de flujo u otro está relacionado con el tamaño de las partículas que forman el material y con las fuerzas a las que están sometidas estas partículas.
Figura 1: Diagrama de regímenes de flujo en materiales granulares cohesivos.
El flujo plástico está caracterizado por una velocidad pequeña, casi nula. Las partículas están muy juntas y las tensiones mecánicas en el material no dependen de la velocidad del flujo. Este régimen es el que se produce en los deslizamientos de tierra y fracturas en el suelo. Su estudio es importante en la construcción y las infraestructuras civiles.
El flujo inercial es el más habitual en los materiales que presentan poca cohesión. En él las partículas están más separadas que en reposo, e intercambian energía cinética entre ellas mediante colisiones. Este es el régimen de flujo en un reloj de arena o el que se produce en la descarga de un silo de grano.
La fluidización se produce cuando el flujo de aire entre los intersticios del material es lo suficientemente rápido como para sostener parcialmente el material. A medida que el flujo de aire aumenta, el material se expande y presenta características que recuerdan a un líquido. Este tipo de flujo es poco conocido por el público en general, pero se usa con frecuencia en la industria química, en lo que se conoce como reactores de lecho fluido.
Por último, si la velocidad del aire es muy alta, este puede arrastrar completamente a las partículas del material y mantenerlas en suspensión. Es el caso de las tormentas de arena.
Nuestras investigaciones en Xerox nos llevaron a analizar las fuerzas que existían entre los granos de un material granular y su dependencia con el tamaño y las tensiones a que estaba sometido. Las fuerzas más relevantes suelen ser tres: las fuerzas de cohesión entre granos; el peso del grano; y la fuerza de arrastre del aire. Cada una de estas fuerzas depende del tamaño de las partículas y, eventualmente, de la velocidad relativa entre estas y el aire circundante. Analizando estas dependencias pudimos determinar qué fuerzas dominaban en cada caso, determinando el régimen dinámico que cabía esperar.
En el diagrama podemos ver las diferentes fronteras entre los regímenes posibles. A muy baja velocidad, o en reposo, todos los materiales granulares se comportan plásticamente. Para partículas del tamaño de décimas de milímetro y superiores las fuerzas de cohesión son despreciables frente al peso y al efecto de las colisiones entre partículas. Así, cuando se aumenta la velocidad estos materiales fluyen como la arena seca o las legumbres. Si aumentamos mucho la velocidad, estos materiales pueden llegar a fluidizarse. Este fenómeno se observa en las avalanchas de nieve.
El caso más interesante está en el rango de tamaños de varias micras. Aquí la cohesión y el efecto del aire son más importantes. En este rango el material no fluye inercialmente, como la arena, sino que pasa del estado plástico directamente a fluidizarse. Si bajamos aún más el tamaño, en torno a la micra, la cohesión es tan fuerte que las partículas no se separan fácilmente y solo encontramos polvo muy agregado o partículas en suspensión.
El diagrama de regímenes de flujo permite analizar el comportamiento de muchos materiales en diversas circunstancias, no solo el comportamiento del tóner xerográfico. Por ejemplo, el diagrama permite entender cuando un material es adecuado para construir un reloj de arena. Este, además, es un ejemplo que ilustra muy bien las fuerzas en acción, y cómo escalan con el tamaño de los granos que forman el material.
En un material granular la presión sobre el fondo del contenedor no depende de la altura, lo que se conoce como efecto Janssen. La fricción estática entre los granos se transmite a las paredes y esta fricción equilibra el peso del material. El resultado es que, si descargamos el depósito, la velocidad del flujo es independiente de la carga, el peso del material que queda por caer, excepto a valores muy bajos de esta última. La situación es diferente en un depósito de agua, donde la presión en el fondo del depósito es proporcional a la altura del nivel de agua. Así, si se tiene un orificio en el fondo del depósito, la velocidad con la que sale el agua va variando a medida que este se vacía. Esta sería la situación en una clepsidra o reloj de agua.
En un reloj de arena, el flujo del material granular a través de la abertura se produce mediante el colapso continuo de un «arco» o «cúpula» transitorio. Se ha comprobado experimentalmente que el diámetro del orificio de un reloj de arena ha de ser de 5 a 7 veces más grande que el grano. Por debajo de este valor el flujo granular se interrumpe por el atasco de partículas en el orificio de salida, que forman un arco (veáse la figura 2).
Figura 2: Interrupción del flujo granular por la formación de un arco de granos [2].
Todas estas consideraciones se refieren a granos que no tienen fuerzas de cohesión entre ellos. Las fuerzas de cohesión entre granos provocan la agregación de partículas, lo que dificulta el flujo y aumenta la resistencia estructural a fluir. Los sospechosos habituales en la cohesión entre granos son las fuerzas de van der Waals, las interacciones electrostáticas y los puentes líquidos entre granos originados por la humedad.
Si evitamos la humedad y trabajamos con partículas descargadas, la cohesión es debida a la fuerza de atracción de van der Waals. El origen de esta fuerza es la interacción electrostática entre las moléculas que componen los granos. Esta interacción es del tipo dipolo-dipolo y es atractiva en cierto rango de distancias. Los granos nunca son completamente lisos, sino que tienen asperezas y el contacto entre dos granos se produce a través de estas asperezas. Sumando las fuerzas entre las moléculas de dos granos que están en contacto, se obtiene que la fuerza de atracción entre estos es:
F=A R/(6 z2 )
Aquí, z es la distancia entre las moléculas del contacto (del orden de ángstroms) y R es el radio efectivo de curvatura del contacto. Hay que recalcar que este radio no es el del grano, sino el de las asperezas que forman el contacto. La constante de proporcionalidad se conoce como constante de Hamaker, A, y su valor depende del material.
Los granos suelen tener superficies rugosas con radios típicos de asperezas del orden de 0.1 micra. En estas condiciones la fuerza de atracción del contacto es del orden de 10-9 N. Podemos considerar que un contacto entre granos es no cohesivo si el peso de partícula es mucho mayor que 10-9 N. Para una densidad del material de 1 gr/cm3, esto sucede si el diámetro del grano es mucho mayor que 60 micras. Ahora bien, como el volumen escala con el cubo del diámetro, basta que el diámetro sea el doble (la mitad) de 60 micras para que el peso sea mucho mayor (mucho menor) que la cohesión.
Los granos de arena fina suelen tener tamaños entre 125-250 micras. La arena de un buen reloj de arena está en ese rango de tamaños. En nuestro diagrama de flujos estamos a la derecha del todo, y el material pasa del reposo al flujo inercial. Los granos de limo tienen un tamaño entre 2 y 50 micras y no conseguiríamos un buen reloj. Las mismas consideraciones tenemos si comparamos cómo fluye el azúcar estándar (entre 500 a 800 micras por partícula) con el azúcar en polvo o glas (entre 20 a 50 micras por partícula). Tampoco conseguiremos que funcione nuestro reloj con harina refinada convencional (de 70 a 90 micras de diámetro) y peor aún con la harina fina de pastelería (entre 40 y 80 micras).
Por supuesto, la humedad estropea nuestro reloj porque los puentes líquidos entre granos conducen a fuerzas de cohesión del orden de d x 10-7 N (donde d es el diámetro del puente dado en micras). Estas fuerzas son varios órdenes de magnitud mayores que la fuerza de van der Waals.
Terminamos esta entrada volviendo al origen de nuestro interés por los polvos cohesivos: el tóner de las fotocopiadoras. En este caso el régimen interesante es el inercial, el mismo que en un reloj de arena, ya que permite transportar el tóner dentro de la máquina y repartirlo sobre el papel uniformemente. Si se usan partículas muy finas el polvo se fluidiza o, peor, se queda agregado o, todavía peor, en suspensión. En cualquier caso, es inmanejable. Lo que demostramos en nuestro trabajo en Xerox es que hay un límite natural a la calidad de las imágenes que podemos obtener en xerografía. Intentar usar la tecnología existente con partículas de una micra de tamaño es inviable. La respuesta de la compañía a esta imposibilidad física fue un proyecto de tóner líquido, es decir, las partículas se suspendían en un líquido. En ese proyecto también participamos, pero esa es otra historia.
Referencias
[1] Antonio Castellanos et al. Flow Regimes in Fine Cohesive Powders.
[2] By Gsrdzl – Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9942811
