Fractales por todas partes

Definición y ejemplos

En términos generales, se llama fractal a todo objeto geométrico autosimilar (o autosemejante), esto es, tal que posee una estructura que se repite a diferentes escalas. Algunos ejemplos de fractales son

La “curva” de Koch (Fig. 1).
El “triángulo” de Sierpinski (Fig. 2).
El conjunto de Julia-Mandelbrot (Fig. 3).

Con carácter general, estos conjuntos se consiguen iterando un proceso (por ejemplo, moviendo y eliminando una y otra vez de manera ordenada puntos del plano).

El término fractal fue “inventado” por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y proviene del latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

Fig. 3 – El conjunto de Julia-Mandelbrot.

Mandelbrot, considerado padre de la geometría fractal, estuvo siempre interesado por una descripción realista de la Naturaleza.

En la introducción de su libro “Geometría Fractal de la Naturaleza”, publicado en 1982, escribió:

“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan en una línea recta”.

De hecho, muchas estructuras naturales se pueden representar de manera aproximada por fractales. He aquí algunas de ellas:

Las líneas costeras (Fig. 4 y 5).
Los paisajes fractales (Fig. 6).
Los relámpagos (Fig. 7).
Muchos vegetales y animales (Fig. 8 y 9).

Algunas características o propiedades de los fractales y de los objetos naturales representados son las siguientes:

No pueden ser generalmente descritos por la geometría tradicional de curvas y superficies. Son demasiado “irregulares”, como se observa en las figuras.
La autosimilitud se manifiesta exhibiendo una estructura geométrica que se repite con la misma forma y diferente tamaño.

Fig. 5 – Línea costera (detalle)..
Aunque, como es lógico, en el caso de las estructuras naturales representadas por fractales, esto ocurre un número finito de veces (por ejemplo, en los ejemplos anteriores no ocurre a escala microscópica).
En muchos procesos gobernados por sistemas dinámicos, los fractales juegan el papel de «estado límite». Por este motivo, se interpreta que están ligados al concepto de caos. Pero para explicar este fenómeno de manera detallada necesitaríamos mucho espacio …

Algunas aplicaciones de los fractales en los tiempos que corren

La rama de las Matemáticas dedicada a la descripción y análisis de conjuntos fractales se denomina Geometría Fractal. Las técnicas del área se aplican en la actualidad en muchos ámbitos:

Fractales en Biología: Los modelos y procesos biológicos también están caracterizados por la coexistencia de escalas diferentes, con un patrón general que se repite una y otra vez.

Fractales en Astrofísica: Es comúnmente aceptada la idea de que la naturaleza fractal del gas interestelar es la clave de la formación de las estrellas en el universo. Las nubes de partículas (al igual que las nubes del cielo) adoptan perfiles autosimilares ligados a patrones irregulares pero recurrentes, cuya descripción sería imposible sin la ayuda de la Geometría Fractal.

Fractales en Ciencias de la Computación: En este ámbito, la presencia y el uso de fractales están muy extendidos. Muchos esquemas de compresión de imágenes usan algoritmos fractales para conseguir reducciones que pueden ser superiores a un 75 % del tamaño original. En particular, las técnicas han permitido estos últimos años avances artísticos, ilusiones ópticas, efectos especiales, etc. verdaderamente sorprendentes.

Se pueden enumerar más aplicaciones: modelado del tráfico en redes, Robótica, composición musical, transiciones de fase en magnetismo, análisis de patrones sísmicos, modelado de formaciones geológicas, fenómenos de erosión, análisis bursátil y de mercado, etc.

Como ejemplo de “comportamiento fractal”, nos podemos referir al que se da generalmente en los partidos políticos: los altos cargos deciden una estrategia y la expresan en público; a continuación, los segundos cabezas de serie repiten las ideas; luego vienen los políticos regionales, que dicen lo mismo, etc. Y la cadena llega hasta los cargos de menor nivel e incluso en muchas ocasiones hasta el militante de base comprometido, que hace suyo el discurso y lo reproduce cuando habla con sus amigos.

Para saber más (I): la dimensión fractal

Al día de hoy, no existe una definición matemática del concepto de fractal comúnmente aceptada. Sólo tenemos intentos parciales, entre ellos el protagonizado por Mandelbrot:

«Un fractal es un objeto geométrico cuya dimensión de Haussdorf-Besicovitch D_HB es estrictamente mayor que su dimensión topológica.»

Generalmente, calcular D_HBno es sencillo. Por eso se recurre con frecuencia al cálculo de una cantidad similar: la dimensión fractal D_F. Por definición, dado un objeto K (un conjunto por ejemplo del plano o del espacio tridimensional habitual), la correspondiente dimensión fractal D_F es el límite \(\lim_{L \to 0^+} \frac{\log N(L)}{\log(1/L)} \), donde N(L) es el número de bolas de radio L que hacen falta para recubrir K.

Se puede demostrar que la dimensión topológica de un conjunto es siempre \(\leq\) que su dimensión de Haussdorf-Besicovitch y que ésta es siempre \(\leq\) que la correspondiente dimensión fractal.

Si estuviéramos hablando de un segmento, tendríamos D_F= 1. En efecto, si descomponemos un segmento de longitud 1 en segmentos más pequeños de longitud L, aparecen N(L) = 1/L componentes. En términos prácticos, esto indica que un segmento no es un fractal.
Por otra parte, si estuviéramos considerando un cuadrado, la dimensión sería 2, dado que un cuadrado de superficie 1 se descompone aproximadamente en N(L) = 1/L² bolas de radio L. Tampoco es un fractal.

Fig. 9 – Las ramas de un árbol (izqda.) y la figura de Lichtenberg (drcha.), generada por las descargas eléctricas producidas sobre un material aislante.
Veamos cómo se puede calcular la dimensión fractal de la curva de Koch. Para ello, observamos que, en la etapa 1, cada segmento tiene longitud 1/3 y hacen falta 4. En la siguiente etapa, estamos utilizando 4² segmentos de longitud 1/3²y después 4³ segmentos de longitud 1/3³, etc. En general, cuando los segmentos tienen longitud L, necesitamos N(L) = 1/L^d segmentos, con d = log(4)/log(3), que es igual a 1.2618 …
Veamos ahora cuál es la dimensión fractal del triángulo de Sierpinski. Observamos que, en la etapa 1, el lado de cada triángulo es 1/2 y hacen falta 3 triángulos. En la siguiente etapa, estamos utilizando 3² triángulos equiláteros de lado 1/2²y después 3³ triángulos de lado 1/2³, etc. En general, necesitamos aproximadamente N(L) = 1/L^d bolas de radio L, con d = log(3)/log(2), que es igual a 1.584 … En estos dos últimos casos vemos que tenemos entre manos objetos más grandes y complejos que un segmento pero más pequeños que un cuadrado del plano.
Más generalmente, si para generar un fractal seguimos un proceso iterado de manera que la descomposición en objetos semejantes de tamaño 1/aⁿ necesita bⁿ componentes, la dimensión fractal es d = log(b)/log(a). En efecto, con este valor de d tenemos que, cuando el tamaño de las bolas que recubren es L, el número de componentes es aproximadamente 1/L^d.
Por comparación con la curva de Koch, es posible determinar de manera aproximada la dimensión fractal de una línea costera. Por ejemplo, se acepta que la costa de Gran Bretaña se puede representar por un fractal que tiene dimensión aproximadamente igual a 1.25.