El 17 de septiembre próximo se van a cumplir 200 años del nacimiento de uno de los más grandes matemáticos de la historia: Bernhard Riemann. Quizá el de más impacto si tenemos en cuenta que murió poco antes de haber cumplido cuarenta años. Parece por tanto oportuno dedicarle un trío de entradas a las propuestas geométricas de Riemann, dado que fueron esenciales para que Albert Einstein pudiera varias décadas después formular su teoría general de la relatividad. Esta historia de Riemann y la geometría sirve además para mostrar qué aportan a la ciencia las matemáticas, esa ciencia que no está claro que sea una ciencia.

De entrada, para comprender en toda su profundidad qué hizo Riemann con la geometría no hay más remedio que hacer algo muy poco habitual en las otras ciencias, pero que no es raro en matemáticas: retroceder dos mil trescientos años atrás. Porque lo que hizo Riemann fue dar un tratamiento unificado a todas las geometrías que se habían ido construyendo en esos más de dos milenios, desde la venerable geometría desarrollada por Euclides en sus célebres Elementos, hasta las geometrías no euclídeas descubiertas y estudiadas por los matemáticos (para desesperación e incluso repugnancia de bastantes físicos y filósofos) durante la primera mitad del siglo XIX.

Para calibrar la influencia e importancia de los Elementos que Euclides compuso en el siglo III antes de nuestra era, basta decir que es uno de los libros más editados desde el desarrollo de la imprenta. Además, por supuesto, de situar a la geometría euclídea como modelo de disciplina y rigor matemático.

Ya en el siglo XVII, los Principia de Newton situaron a la geometría euclídea del espacio como el modelo de espacio absoluto donde tenían lugar todos los acontecimientos del mundo físico que nos rodea. Eso benefició tanto a la física newtoniano, que adquirió el prestigio que arrastraba la geometría euclídea desde su formulación dos mil años antes, como a la propia geometría euclídea, que sumó a su solidez lógica un plus de veracidad al representar la realidad física subyacente. Esta veracidad y fiabilidad de la geometría euclídea acabó teniendo, además, el aval de la filosofía, pues este diseño euclídeo del mundo fue bendecido por filósofos tan diferentes como T. Hobbes (1588-1679), J. Locke (1632-1704) o G. Leibniz (1646-1716), aunque no por David Hume (1711-1776) –en quien, por cierto, encontró inspiración Einstein antes de desarrollar la teoría especial de la relatividad–. Más todavía, Immanuel Kant (1724-1804), el más influyente filósofo del siglo XVIII, estableció en su Crítica de la razón pura que el espacio euclídeo era la forma de organización espacial preexistente en nuestra mente, y por tanto el conocimiento que de él tenemos es previo a nuestra experiencia del mundo; adaptamos pues nuestra experiencia del espacio físico al molde euclídeo, y, puesto que se deja adaptar, debe de ser porque ese espacio es euclídeo.

Pero, a pesar de todo este consenso sobre su solidez, la geometría euclídea tenía un lunar: el postulado de las paralelas. Y no es que se dudase de su certeza, sino que se le consideraba demasiado complicado, especialmente cuando se le comparaba con la evidencia inmediata que caracteriza a los otros cuatro postulados. Tal y como lo formuló Euclides, el postulado de las paralelas afirma: «Si una recta, al incidir sobre dos rectas, hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos».

¿Qué hacer, pues, con el postulado de las paralelas? Casi desde su nacimiento se barajaron dos opciones: bien demostrarlo usando los otros axiomas, de manera que quedara incorporado a la geometría como teorema; bien dar con otro axioma, de cuya evidencia inmediata nadie pudiera dudar, y que implique el de las paralelas. Precisamente, el postulado se llama de las paralelas, aunque no aparecen en la formulación de Euclides, porque equivale a afirmar que, por un punto que no está en una recta, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada –algo ya conocido por Ptolomeo en el siglo II de nuestra era, y posiblemente mucho antes–.

A lo largo de los siglos no fueron pocos ni poco importantes los matemáticos que se dedicaron a buscar equivalencias para el postulado; por ejemplo, tal hicieron A.M. Legendre (que mostró la equivalencia del postulado de las paralelas con el hecho de que los ángulos de cualquier triángulo sumen dos rectos) e, incluso, el admirado C.F. Gauss –que, como veremos más adelante, hizo mucho más que eso en relación con el postulado de las paralelas–. Este esfuerzo fue poco comprendido por parte de otros científicos, que no veían ninguna necesidad de dedicar ni tiempo ni energías a estos caprichos de matemáticos. Bien es verdad que no se consiguió otra cosa que un larguísimo listado de equivalencias del postulado ninguna de las cuales se acercaba siquiera a la categoría de verdad autoevidente.

Otros matemáticos, sin embargo, optaron por hacer otra cosa, que fue considerada igualmente inútil por los ajenos al gremio de Pitágoras, pero que tuvo luego consecuencias fundamentales para la ciencia. Se trata de la numerosa cohorte de matemáticos que se propusieron demostrar el postulado usando el resto de axiomas euclídeos. Aquí también se hicieron grandes esfuerzos, sin éxito aparente, por más que algunos contendientes se autoproclamaran ganadores del reto y publicaran libros con títulos tan inequívocos como: Euclides vindicado de todo reproche.

Para escándalo de muchos, a finales del siglo XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que determinadas negaciones del postulado de las paralelas podían llevar a geometrías sólidas desde el punto de vista lógico, aunque extrañas y posiblemente incompatibles con la realidad. Es el caso de J. Lambert (1728-1777), F. Schweikart (1780-1859) o, su sobrino, F. Taurinus (1794-1874).

Como se ve, la fruta estaba madura, y pronto un tropel de recolectores se aprestaron a cosecharla. Entre ellos estaba Gauss, nada más y nada menos.

Pocos detalles sabemos de las investigaciones de Gauss sobre geometría no euclídea, porque nunca publicó nada y ha sido poco lo que se encontró entre sus manuscritos y notas privadas. Fue muy discreto con ese asunto, y sólo lo comentó en cartas a amigos; en 1829 le escribió a Bessel que no publicaría nada porque «temía el clamor de los beocios» –que eran originarios de Beocia, una región de la antigua Grecia cuyos habitantes tenían entre los atenienses fama de estúpidos–. Lo cierto es que a Gauss sus conclusiones le parecían demasiado revolucionarias, no sólo desde el punto de vista matemático, sino también del físico y del filosófico, e iban en contra de las, por entonces, intocables doctrinas de Kant.

Gauss estaba convencido de la independencia del postulado de las paralelas con respecto a los otros axiomas euclídeos, y de que sus negaciones generaban geometrías lógicamente coherentes. Pero, todavía más, no veía ninguna razón por la que alguna de esas geometrías no euclídeas no fuera la que corresponde a nuestro mundo físico; contraviniendo a Kant y a Newton, Gauss pensaba que para determinar esa fundamental cuestión científica había que recurrir al experimento. Se sabe, de hecho, que aprovechando sus habilidades topográficas trató de medir los ángulos de un gigantesco triángulo formado por tres montañas –cuyos lados tenían 69, 85 y 197 quilómetros–; halló que la suma superaba los dos rectos, pero por una cantidad tan pequeña que entraba de sobra en los errores achacables al proceso de medida.

Finalmente fueron el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) en 1829 y el húngaro János Bolyai (1802-1860) en 1832 quienes publicaron los primeros trabajos sobre geometrías que contravenían el postulado de las paralelas. Los resultados de Lobachevski y Bolyai fueron muy parecidos y, presumiblemente, también a los de Gauss. Todos ellos suponían que hay infinitas rectas por un punto que son paralelas a una recta que no contiene al punto; a partir de lo cual demostraron multitud de resultados, raros pero aparentemente coherentes para este plano no euclídeo. Poco después aparecieron otras geometrías donde, por ejemplo, no hay rectas paralelas –es lo que pasa, por ejemplo, en la geometría de la superficie esférica–.

Al igual que Gauss, Lobachevski y Bolyai pensaban que su geometría podría corresponder a la del mundo físico, lo que tendría que ser determinado experimentalmente. Esto era demasiado para la comunidad científica de la época –muy influenciada por Kant y, obviamente, por Newton–, más todavía teniendo en cuenta la modestia matemática de los padres de la criatura –la opinión de Gauss no era pública–. Como consecuencia, los trabajos de Lobachevski y Bolyai pasaron sin pena ni gloria. Naturalmente, la solidez que entonces demostraba la física de Newton y lo esotérico de las geometrías no euclídeas, hicieron que ese tema de estudiar geometrías aparentemente incompatibles con la realidad fuera considerado por otros científicos un absurdo capricho de matemáticos: ¡cómo tomar en serio a una troupe que se empeña en construir y estudiar geometrías distintas de la euclídea, cuando Newton y Kant dicen que es esa la que corresponde con la realidad física!

Tan solo cuando tras la muerte de Gauss se publicó su correspondencia, y se tuvo disponible la potentísima geometría que Riemann había desarrollado a rebufo de la geometría diferencial de Gauss para superficies,

los matemáticos comprendieron, no sin cierto horror, que la venerada geometría de Euclides no era sino una de muchas otras posibles. Y pocos, muy pocos, entre los que se encontraba el propio Riemann, imaginaron entonces la posibilidad de que Newton, Kant y todos sus seguidores se equivocaran porque, a fin de cuentas, la realidad física iba a acabar siendo no euclídea. Pero no solo esto, estos caprichos matemáticos permitieron que Gauss, Riemann y sus seguidores, desarrollaran el imprescindible aparato matemático que después necesitó Einstein para concretar sus teorías físicas en un modelo matemático que permitiera su estudio. Como veremos más adelante, sin las ideas de Riemann ni ese aparato matemático previo, Einstein no habría podido siquiera esbozar sus ideas; como él mismo reconoció: «la teoría general de la relatividad quizá se habría quedado en pañales».  

Para entender la propuesta de Riemann y por qué fue esencial para que Einstein pudiera formular su teoría de la relatividad general, hay que decir algo más sobre uno de las más profundas y fértiles ideas matemática de Gauss: la geometría intrínseca de superficies.

Hasta principios del siglo XIX, una superficie era vista y estudiada desde fuera, como un objeto de dos dimensiones inmerso en el espacio tridimensional euclídeo, como la envoltura de un sólido; esa es, precisamente, la primera acepción de la palabra «superficie» según el diccionario de la RAE: «Límite o término de un cuerpo, que lo separa y distingue de lo que no es él». Piénsese, por ejemplo, en una superficie esférica como límite de una esfera.

Asociado a un punto de la superficie está el plano tangente y el vector normal, que determina la dirección perpendicular al plano tangente. El plano tangente casi se identifica con la superficie en el punto de contacto, mientras que el vector normal, por el contrario, se proyecta perpendicularmente fuera de la superficie, y certifica así la existencia del espacio tridimensional que acoge a la superficie, y desde el que nosotros la observamos y la estudiamos.

Gauss vino a cambiar esa situación en 1827 con la publicación de una de sus grandes obras: Disquisitiones generales circa superficies curvas.

Lo que propuso Gauss fue una visión de la superficie desde dentro, intrínseca, como si fuéramos seres de dos dimensiones viviendo sobre ella. Esto quiere decir que nos podemos desplazar por ella combinando únicamente dos direcciones: arriba/abajo e izquierda/derecha, y cualquier otra dirección independiente de esas dos nos es desconocida; en particular, la del vector normal –pues esta se proyecta fuera de la superficie–. Al desplazarnos por una superficie podemos también medir distancias sobre ella. Gauss estaba interesado en estudiar propiedades intrínsecas de la superficie, o sea, y dicho de forma muy simplificada, propiedades geométricas de la superficie que pudieran determinarse con la única información que proporciona vivir sobre ella sin necesidad de mirarla desde fuera –renunciando, por lo tanto, al vector normal, que al ser perpendicular a la superficie necesita una dimensión que es ajena a los habitantes de la superficie–. Los resultados de Gauss mostraron que hay información esencial de la superficie que, a pesar de necesitar el vector normal para su definición, podía calcularse y conocerse de forma intrínseca –renunciando, por tanto, al vector normal–. 

Curiosamente, la inspiración para sus teorías le llegó a Gauss mientras recorría a lomos de mulas la región de Hannover haciendo estudios geodésicos; pero le llegó despacio, sin prisas, en pequeñas dosis que fue recibiendo durante los diez largos veranos que dedicó a sus mediciones geodésicas. Fue ese cuidadoso medir distancias en el suave paisaje ondulado de la Baja Sajonia el que le convenció de que ahí se escondían jugosos secretos de la geometría de superficies.

La forma típica en que una superficie se maneja de forma intrínseca es la llamada primera forma fundamental, que indica cómo se pueden medir distancias sobre la superficie; de forma más precisa la primera forma fundamental describe el elemento de arco sobre la superficie en la forma

$$ds^2=E(x,y)dx^2+2F(x,y)dxdy+G(x,y)dy^2,$$

Donde \(E, F, G\) son funciones de las coordenadas \((x,y)\) que necesita un punto para ser localizado sobre la superficie. La venerable geometría euclídea del plano se correspondería con el caso más sencillo:

$$ds^2= dx^2+ dy^2,$$

que viene a decir que para medir distancias en el plano usamos el teorema de Pitágoras. La más complicada geometría de la superficie esférica corresponde con el elemento de arco

$$ds^2={\rm s}{\rm e}{\rm n}(x) dx^2+dy^2.$$

Gauss definió entonces la curvatura (total) de una superficie en un punto, que viene a ser una medida de lo que difiere en ese punto la superficie de ser un plano, para lo cual no tuvo más remedio que usar el vector normal a la superficie. A pesar de lo cual, Gauss acabó demostrando que la curvatura es una propiedad intrínseca de la superficie que podrían calcular los habitantes que viven sobre ella –a pesar de no poder percibir la dimensión en la que se proyecta el vector normal–. Gauss encontró este resultado tan impresionante que lo calificó como Theorema Egregium. El teorema egregio de Gauss, en particular, implica que los habitantes de una superficie, aunque no perciban la tercera dimensión, pueden descubrir si la necesitan para existir. Por ejemplo, los habitantes de una superficie esférica de radio \(r\) podrían saber que su universo tiene curvatura constante igual a \(1/r^2\), y por lo tanto aunque ellos sólo sean conscientes de sus dos dimensiones sabrían que una tercera es necesaria para su existencia, ya que al ser el valor de la curvatura distinto de cero, no podían estar viviendo en un plano. Extrapolando a nuestro universo, aunque nosotros sólo seamos conscientes de tres dimensiones, podríamos llegar a saber si necesitamos de más dimensiones para poder existir.

En 1854, Riemann hizo una propuesta unificadora de todas las geometrías conocidas hasta entonces, para lo cual llevó mucho más lejos las ideas de Gauss, pero eso lo trataremos en la siguiente entrada.

Referencias

Antonio J. Durán, Crónicas matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.