La teoría

La teoría de los seis grados de separación es clara: dice que, elegidas arbitrariamente dos personas de diferentes lugares del planeta, podemos encontrar una conexión entre ellas basada en, como mucho,cinco personas intermedias.

En otras palabras, que el mundo es un pañuelo.

Esta teoría se ha visto reforzada a lo largo de los años de dos maneras:

• A base de experimentos, de los cuales el más famoso (aunque no el más relevante) se debe a Milgram.
• Gracias a la concepción de modelos matemáticos que explican satisfactoriamente la situación.

Para comprender que la teoría dice algo razonable, pensemos en el número de conocidos que puede tener un ciudadano medio: ¿cincuenta, cien personas?

Mi contacto con alguna de estas personas abre la posibilidad de contacto indirecto con (al menos) otras 50 X 50 = 2500. Igualmente, con sólo dos pasos, podré llegar al menos a 50 X 50 X 50 = 1.250.000, etc. El crecimiento del conjunto de personas abordables es por tanto muy rápido, de donde no tiene nada de extraño que en seis pasos lleguemos a cualquier otro individuo.

Otra manera de ver la situación consiste en preguntarnos, como hace el autor en [1], cuántos pasos tenemos que dar para llegar a alguien de relevancia pública. Por ejemplo, para que un profesor universitario llegue al Ministro de su ramo, basta conectar primero con el Director del Departamento, después, que éste conecte con el Rector y éste con el Ministro. Siguiendo un camino inverso, el Ministro conocerá directa o indirectamente (a través de otro Ministro) al director de un Hospital, que conocerá sin duda a los médicos del mismo. En resumen, para conectar al profesor con el médico harán falta, como mucho, 6 pasos …

De todos modos, debemos  tener en cuenta que no es posible que la totalidad de la población mundial esté interconectada por tan sólo seis grados de separación. En efecto, existen colectivos que nunca han tenido contacto con personas fuera de su propia cultura. Es el caso de los sentineleses (Isla Sentinel del Norte, India), posiblemente la tribu más aislada (rechazan activamente cualquier tipo de interacción con el exterior); los kawahivas, que habitan en la cuenca amazónica peruana, cerca de la frontera con Brasil, etc. No obstante, dada la pequeña talla de estas poblaciones, podemos esperar una conexión como la que se ha mencionado más arriba para al menos el 99 % de la población.

Naturalmente, consideraciones muy parecidas sirven para describir la cercanía o lejanía en multitud de redes de la vida real: internet, comunidad de actores y actrices, coautoría de artículos científicos, sinónimos en una lengua, especies de un mismo ecosistema, etc.

Existe el juego de salón Seis grados de Kevin Bacon, en el que los jugadores se retan unos a otros a elegir aleatoriamente un actor y luego conectarlo con otro a través de una película en la que ambos hayan aparecido juntos. Después se repite el proceso con la finalidad de encontrar el camino más corto que conduzca finalmente a Kevin Bacon. Por supuesto, la hipótesis de partida es que la «distancia» de cualquier actor a Bacon es menor o igual que seis.

Milgram

Stanley Milgram (1933-1984) fue un célebre psicólogo norteamericano, famoso sobre todo por la realización de los experimentos de obediencia a la autoridad y de la conexión en el pequeño mundo.

En el primero de ellos, llevado a cabo en 1961, mostró que tenemos una tendencia a obedecer órdenes mucho mayor que la que, en principio, esperamos de nosotros mismos. Esta tendencia nos puede llevar a ejecutar acciones que son contrarias a lo que nos parece adecuado, incluso a lo que nos parece ético; véase [2].

En el segundo experimento, puso de manifiesto aspectos que parecen confirmar la teoría de los seis grados. Milgram eligió aleatoriamente un conjunto de personas y les pidió que hicieran llegar a un individuo desconocido que habitaba un lugar lejano una carta utilizando sus contactos. Muchas de las cartas nunca llegaron (debido probablemente a la dejadez de las personas encargadas o de sus contactos), pero el 20% de las misivas alcanzó el destino final y, en estos casos de éxito, se contabilizó un promedio de seis pasos; véase [3].

El experimento no estuvo libre de críticas, basadas en que la elección de Milgram podía no haber sido completamente arbitraria y, sobre todo, en que la elección de los participantes de sus contactos, podía haber sido no la mejor posible. Más recientemente, se han llevado a cabo experimentos similares (véase por ejemplo [4, 5]), que también han recibido las mismas críticas.

No se debe confundir a este Milgram con Arthur Milgram (1912-1961), conocido matemático que, junto a Peter Lax, dio lugar a uno de los resultados más relevantes y con mayor aplicabilidad de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, ver [6].

Grafos que modelan y explican

Las herramientas matemáticas que permiten describir redes como las precedentes son los grafos. Un grafo no orientado es un par \(G = (V,R)\), donde \(V\) es un conjunto finito de vértices (\(n\) en lo que sigue) y \(R\) es un conjunto de segmentos cuyos puntos inicial y final son elementos de \(V\).

Se dice que un vértice está aislado si ningún segmento de \(R\) parte o acaba en él. Se dice que \(G\) es completo si ningún vértice de \(G\) está aislado. Si \(u\) y \(v\) son dos vértices, se llama camino de \(u\) a \(v\) a toda sucesión finita \(\{\ell_1, \dots, \ell_m\}\) de segmentos contiguos \(\ell_i \in R\) tal que \(\ell_1\) comienza en \(u\) y \(\ell_m\) acaba en \(v\). La distancia \(d(u,v)\) es la menor longitud de un camino que vaya de \(u\) a \(v\). Y el diámetro \(D(G)\) de \(G\) es la mayor distancia ente dos vértices.

Vemos entonces que, para un grafo con \(n\) vértices, los conceptos adecuados para medir la separación entre vértices son el diámetro \(D(G)\) y la distancia media

   \[\ell := \frac{\sum_{i\not=j} d(v_i,v_j)}{n(n-1)/2} ,\]

donde la suma está extendida a todos los pares de vértices distintos \((v_i,v_j)\) y el denominador proporciona el mayor número posible de enlaces de un nodo a otro.

Un primer ejemplo de modelo para una red poblacional está dado por el grafo regular \(G_0(n)\) de la Fig. 4 (izqda.), donde cada nodo está conectado a los cuatro adyacentes. Es fácil ver que la distancia media es en este caso \(n/8\) y crece en consecuencia linealmente con \(n\), algo que nada tiene que ver con la realidad. Procede por tanto incorporar mejoras.

Una primera modificación de este modelo fue dada por Erdös y Renyi en los años 50, véase [7]. El nuevo modelo se genera como sigue: partimos de un conjunto \(V\) de \(n\) vértices y, para cada par de vértices \((u,v)\), añadimos (o no) el segmento de \(u\) a \(v\) con probabilidad \(p\); véase la Fig. 4 (drcha.). Se dice que hemos construido un grafo aleatorio.

Supongamos que, para cada \(n\), somos capaces de construir un grafo \(G(n)\) de estas características con \(p =p(n)\). Los  \(G(n)\) poseen propiedades remarcables:

• El número medio de conexiones de un vértice es \(\langle k(n) \rangle = (n-1) p(n)\).
• El diámetro \(D(G(n))\) y la distancia media entre dos vértices \(\ell(n)\) son aproximadamente iguales a \(\log n/log \langle k(n) \rangle\) para grandes valores de \(n\).
• Existe una probabilidad crítica \(p_c(n) = \log n/n\) tal que, para \(p(n)/p_c(n) \to +\infty\), la probabilidad de que el grafo \(G(n)\) sea completo tiende a \(1\).

Aceptemos que las conexiones de la población mundial corresponden a las de un grafo \(G(n)\) generado con probabilidad crítica \(p_c(n) = \log n/n\), con \(n = 7 \cdot 10^9\) vértices (aproximadamente el número de habitantes del planeta). Entonces tendríamos

   \[\langle k(n) \rangle \approx n\cdot p_c(n) = \log n \approx 23\ \text{ y } \ D(n) \approx \log n/log \langle k(n) \approx 7.3 . \]

Dicho de otro modo: en un escenario en el que cada individuo conoce en promedio unas \(23\) personas, obtenemos aproximadamente \(7\) grados de separación entre uno y otro.

Este resultado parece indicar que la hipótesis de seis grados de separación es más que razonable (cabe esperar un valor de \(\langle k(n) \rangle\) mucho mayor que \(23\)).

Sin embargo, el modelo no es del todo realista: las conexiones se han establecido de manera totalmente aleatoria, lo cual no obedece a la realidad. En efecto, habitualmente nos asociamos con personas próximas, con las que compartimos intereses, familia, trabajo, aficiones deportivas, etc.

El modelo de Erdös y Renyi ha sido modificado y mejorado en épocas más recientes por Watts y Strogatz y posteriormente por Kleinberg (véase [8] y [9]), dando lugar a los llamados grafos de mundo pequeño; véase la Fig. 4 (centro). Se trata de modelos que ocupan un lugar intermedio entre el del grafo regular \(G_0(n)\) y el grafo aleatorio \(G(n)\) y en ellos cobra importancia no sólo el diámetro y la distancia media, sino también el agrupamiento.

Pero, por razones de espacio, una descripción de los mismos, de sus propiedades y de su aplicabilidad queda para más adelante como objetivo de una nueva entrada.

Referencias:

1. Leonesi, S.: The mystery of the six degrees of separation, parts I and II. Lett Mat Int (2015) 3:121–127 and Lett Mat Int (2015) 3:215–220.
2. Milgram, S.: Obedience to Authority: An Experimental View, Harpercollins, 1974.
3. https://es.wikipedia.org/wiki/Experimento_del_mundo_peque%C3%B1o

4. Lovgren, S.: Six degrees of E-mail separate wired world? National geographic news, 7 Aug 2003.

5. Cho, D.: E-mail study corroborates six degrees of separation, Scientific American, 8 Aug 2003.

6. Lax,P.; Milgram, A.N. (1954): «Parabolic equations», Contributions to the theory of partial differential equations, Annals of Mathematics Studies, vol. 33, Princeton, N. J.: Princeton University Press, pp. 167–190, MR 0067317, Zbl 0058.08703 – via De Gruyter.

7. Erdös, P., Renyi, A.: On the evolution of random graphs. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato, Int. Közi 5 (1960).

8. Watts, D.J., Strogatz, S.H.; Collective dynamics of  «small-world» networks. Nature 393, 440–442 (1998).

9. Kleinberg, J.: The small-world phenomenon: an algorithmic perspective. In: Proceedings 32nd ACM Symposium on Theory of Computing (2000) (also in Cornell Computer Science Technical Report, 99–1776, 1999).