1. Lo que ha ocurrido, y quién lo hizo

El martes 8 de septiembre OpenAI anunció que había resuelto uno de los siete Problemas del Milenio del Instituto Clay: el de la existencia y regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier–Stokes en tres dimensiones. Un millón de dólares, noventa años de espera, y un comunicado redactado con la modestia habitual de la casa: la prueba la produjo “un modelo interno significativamente más capaz que GPT-6 Astra” (un modelo que, se nos informa, empezó a entrenarse el 28 de agosto y sigue entrenándose); el ataque se lanzó el 1 de septiembre “tras oír rumores” de que otros lo tenían casi; se emplearon del orden de diez mil agentes concurrentes durante 88 horas, 2,7 millones de mensajes entre ellos y unos 130.000 millones de tokens de salida, con un coste que sus directivos sitúan en varios millones de dólares; y, en un gesto de magnanimidad, la compañía declara que no tiene intención de reclamar el premio. Uno se imagina la escena: diez mil becarios encerrados un fin de semana en un sótano de San Francisco, hablándose entre sí a razón de nueve mensajes por segundo, hasta que uno grita “¡ya está!” y otro lo comprueba en Lean.

Lo que el comunicado no decía es de dónde salió la idea. La ruta que OpenAI recorrió en 88 horas la abrieron dos matemáticos españoles a lo largo de varios años, sin ordenador. Luis Martínez-Zoroa, hoy en CUNEF, desarrolló en su tesis doctoral (ICMAT, 2021) una técnica para hacer que las ecuaciones de los fluidos fallen sobre el papel; su director, Diego Córdoba (ICMAT-CSIC), la convirtió en lo que llaman una “cascada infinita”: una pila de soluciones perfectamente ordinarias que, ensambladas a escalas decrecientes, produce una solución patológica. En 2023 obtuvieron con ella una singularidad en tiempo finito para las ecuaciones de Euler forzadas; la fuerza que resultaba era demasiado irregular para cumplir el enunciado del Clay, pero el camino estaba trazado. Hay una simetría que merece ser señalada: Córdoba hizo su tesis con Charles Fefferman, el mismo que redactó para el Clay el enunciado oficial del problema en 2000. Cuando a Fefferman le preguntaron esta semana, dijo que “los héroes de la historia” son Córdoba y Martínez-Zoroa.

El siguiente tramo lo recorrieron Tristan Buckmaster (Universidad de Nueva York) y Levent Alpöge (empleado de Anthropic), en lo que Buckmaster describe como una colaboración personal, pagada de su propio presupuesto de investigación, con ayuda de varios modelos de lenguaje (Claude, Codex, Astra) durante cerca de un año. Tomaron el programa de Córdoba y Martínez-Zoroa y llevaron el término de forzamiento del flujo de fuerza irregular a fuerza suave: el 15 de agosto tenían la singularidad con forzado suave para Boussinesq y para Euler tridimensional, verificada en Lean el 22. Buckmaster, en su declaración pública, es explícito: “las ideas que hacen posible esta línea de ataque son de Córdoba y Martínez-Zoroa”, y añade que, en su opinión, Martínez-Zoroa merece la Medalla Fields. Terence Tao calificó el trabajo de “un logro notable”.

Y entonces llegó OpenAI. El rumor de que dos matemáticos habían resuelto “un problema del milenio con modelos de Anthropic” circuló a principios de septiembre; OpenAI lanzó sus agentes el día 1; el sábado 5 tenía una prueba para Navier–Stokes con forzado suave (la ruta de Córdoba y Martínez-Zoroa, “la que casi nadie más estaba trabajando”, dice Buckmaster, y “no es una dirección a la que se llega en unos días dándole a un modelo el enunciado”). El domingo 6, OpenAI llamó a Buckmaster para proponerle un anuncio conjunto y, según el relato de éste, para sugerirle que firmara él solo un artículo presentando el resultado de OpenAI, dejando fuera a Alpöge por trabajar en Anthropic. Buckmaster se negó, avisó de que lo haría público, y recibió como respuesta (siempre según su relato, del que el interlocutor se ha disculpado parcialmente) la pregunta: “¿Por qué querrías arruinar tu carrera?”. El artículo de OpenAI del día 8 no citaba a Córdoba ni a Martínez-Zoroa; horas después, sin anunciarlo, fue actualizado para citarlos. Dos días más tarde, la compañía añadió una nota afirmando que los prompts de Buckmaster en Codex durante los dos meses previos “no pudieron haber influido en el sistema de ninguna manera”. Los mecanismos de defensa de un aparato multimillonario ante una sospecha de apropiación se parecen, en fin, a los de todos los mecanismos de defensa. Córdoba, por su parte, lo ha resumido con más estilo que nadie: “Yo no uso IA: tengo a Luis”.

El Instituto Clay no ha aceptado el resultado, sigue listando el problema como abierto y anuncia una evaluación “deliberadamente pausada”. Y el jueves 11, veinticinco medallistas Fields (Tao, Scholze, Viazovska, Hairer, Kontsevich, Bhargava, Maynard, entre otros) publicaron una declaración titulada, con poca diplomacia, “Un desalineamiento severo de la IA en matemáticas”, en la que sostienen que la carrera de los laboratorios por colgarse problemas famosos está dañando la disciplina: un problema abierto no debería ser un trofeo sino una señal que apunta hacia ideas nuevas que hay que estudiar, simplificar, enseñar y absorber, y eso lleva años. Tao lo dijo de otra manera: este año se ha producido “un desacoplamiento extraño y sin precedentes entre obtener respuestas y obtener comprensión”.

Pero no hablemos solo de quién se lleva el mérito. Hablemos de lo que se ha encontrado, que es una singularidad, y de por qué esa singularidad, siendo matemáticamente cierta, es físicamente imposible; y de por qué esa imposibilidad no es un defecto de las ecuaciones sino su manera de decirnos dónde acaban.

2. Qué son las ecuaciones de Navier–Stokes

Son la segunda ley de Newton, F = m·a, aplicada no a una partícula sino a un medio continuo, y expresando las variables de forma “intensiva” (es decir, por unidad de masa o de volumen) en lugar de la expresión de Newton en términos de variables “extensivas” (dependientes de lo grande o pequeño que sea el sistema). Esa expresión, “medio continuo”, es todo el asunto. El agua está hecha de moléculas separadas unas de otras por unas tres décimas de nanómetro; el aire, de moléculas que recorren en promedio unos setenta nanómetros entre choque y choque. Navier (1822) y Stokes (1845) decidieron ignorarlo y suponer que en cada punto del espacio hay definida una velocidad, una presión y una densidad, y que estas magnitudes varían suavemente de un punto al siguiente. Esta hipótesis necesita que exista una escala intermedia, mucho mayor que la molecular y mucho menor que la del fenómeno que nos interesa, en la que el promedio sobre muchas moléculas sea una cantidad bien definida. Mientras esa escala exista, la hipótesis funciona espléndidamente: diseñamos aviones, predecimos el tiempo y modelamos la circulación de la sangre con ella. Cuando esa escala deja de existir, las ecuaciones no se equivocan: simplemente dejan de hablar de la realidad.

Escritas para un fluido incompresible de densidad constante (el caso del sexto problema del Clay), las ecuaciones dicen que la aceleración de una parcela de fluido es la suma de tres cosas: el gradiente de presión que la empuja, la fricción viscosa con las parcelas vecinas que la frena, y una fuerza externa (gravedad, por ejemplo) que puede o no estar. Añádase la condición de que el volumen se conserva, y un dato inicial suave, y la pregunta del Clay es simplemente esta: dejadas a su aire, ¿pueden estas ecuaciones producir infinitos? ¿Puede la velocidad en algún punto hacerse infinita en un tiempo finito partiendo de un movimiento perfectamente suave?

Lo que hace difícil la pregunta es que hay dos términos en pugna. El término inercial (la parcela arrastrada por el propio flujo) es no lineal y tiende a concentrar: un tubo de vorticidad estirado gira más deprisa, como la patinadora que recoge los brazos. El término viscoso es lineal y tiende a difundir: alisa, reparte, disipa. En dos dimensiones la viscosidad gana siempre y se sabe desde los años sesenta que no hay singularidades. En tres dimensiones el estiramiento de vórtices existe, la viscosidad no basta para controlarlo con las herramientas conocidas, y desde Leray (1934) sabíamos que existen soluciones “débiles” pero no si son suaves. El Clay ofrecía el premio a quien demostrara cualquiera de cuatro cosas: que las soluciones son siempre suaves sin fuerza externa, en el espacio entero (A) o en un dominio periódico (B); o que existe un dato inicial suave y una fuerza externa suave para los que la solución suave deja de existir, en el espacio entero (C) o en el dominio periódico (D). Obsérvese la asimetría, que va a importar: para probar regularidad hay que hacerlo sin fuerza; para probar ruptura, se permite una fuerza.

3. Lo que han encontrado

Un vórtice. Un fluido inicialmente en reposo al que se aplica una fuerza externa suave, de modo que se forma un remolino que gira en espiral hacia dentro y se estira axialmente (“como un espagueti”, dice el comunicado); la región central se contrae mientras gira cada vez más deprisa, de tal manera que la energía cinética total del fluido permanece acotada en todo momento, pero la velocidad en el núcleo crece sin límite y se hace infinita en un instante T finito. Eso es la singularidad: no una energía infinita (eso sería trampa), sino una energía finita concentrada en un volumen que tiende a cero. Es el enunciado (C) del Clay, y también el (D).

La dificultad técnica, y aquí está la belleza del asunto, es que la ruptura debe surgir del movimiento del propio fluido y no de una fuerza infinita puesta a mano. Los términos de la ecuación (aceleración, gradiente de presión, transporte de cantidad de movimiento, viscosidad) tienen que hacerse todos enormes y cancelarse entre sí con precisión, dejando como residuo una fuerza externa que sigue siendo suave mientras la velocidad diverge. Dicho de otro modo: la fuerza no es la que crea la singularidad; la fuerza es lo que sobra después de que las ecuaciones, por sí mismas, la creen “artificialmente”. El concepto no es nuevo y algunos hemos tomado subterfugios así alguna vez para tratar de encontrar soluciones a nuestro problema particular en mecánica de fluidos (ir “de adelante hacia atrás” en la solución).

La idea de fondo es la cascada de Córdoba y Martínez-Zoroa, y conviene entender por qué hace falta la fuerza. Se sabe desde los años noventa (Nečas, Růžička y Šverák) que una singularidad autosemejante en sentido estricto (el mismo vórtice reproduciéndose a escala menor, gobernado por un solo parámetro) es imposible en Navier–Stokes con energía finita. Luego la singularidad, si existe, tiene que ser una sucesión de estructuras a escalas decrecientes, cada una alimentando a la siguiente, con el reloj acelerándose. Cada capa de la cascada es, por separado, una solución exacta; el ensamblaje es lo patológico. Y para que las capas se pasen la energía en el instante justo, sin que la viscosidad la disipe entre una y otra, hace falta un metrónomo: eso es la fuerza externa. En la construcción de Córdoba y Martínez-Zoroa el metrónomo era irregular; todo el trabajo de Alpöge y Buckmaster, y luego el de los diez mil agentes, consistió en suavizarlo hasta cumplir la letra del enunciado. Como resultado, producir esa fuerza en la realidad sería un prodigio de la técnica, pero al ser suave no está prohibida físicamente. En Euler, sin viscosidad que combatir, se puede prescindir del metrónomo, y por eso OpenAI pudo resolver Euler sin fuerza con cien agentes y cincuenta horas, mientras que Navier–Stokes con fuerza necesitó cien veces más agentes. El caso físicamente más interesante, Navier–Stokes sin fuerza, los enunciados (A) y (B), sigue tan abierto como el lunes, y no hay evidencia pública de que la construcción funcione sin la fuerza.

4. Por qué el agua no se entera

Y ahora la parte que un físico o un ingeniero lee con una sonrisa. El comunicado de OpenAI dice que, puesto que un fluido real no puede moverse infinitamente deprisa, la singularidad “marcaría una ruptura de cómo las ecuaciones modelan el fluido”, y que “para seguir modelando el sistema haría falta entonces seguir el comportamiento de cada partícula individualmente”. Es una frase escrita por alguien que conoce las ecuaciones y no ha visto nunca un fluido. Entre la ecuación de Navier–Stokes y la molécula no hay un abismo: hay una escalera, y la Naturaleza baja por ella un peldaño cada vez, con toda calma, mucho antes de acercarse a nada infinito.

Sigamos al vórtice mientras se contrae. El fluido del Clay es incompresible y de densidad constante: es, digamos, agua. Conforme la velocidad de giro v en el núcleo aumenta, la presión en el eje del vórtice cae en una cantidad del orden de ρv²/2, y eso es lo que sostiene la fuerza centrífuga. A presión atmosférica, esa caída iguala a la presión total cuando v ronda los 14 metros por segundo. ¡Catorce, no catorce mil! A esa velocidad, la presión en el eje llega a la presión de vapor, el agua hierve en frío, y en el núcleo del vórtice aparece un hilo de vapor: cavitación. Cualquiera que haya mirado la hélice de un barco lo ha visto. El vórtice ha encontrado una salida que no está en las ecuaciones (un cambio de fase, una nueva superficie, una nueva escala) y la singularidad ha muerto antes de nacer, a una velocidad que un ciclista supera fácilmente en una cuesta abajo.

Supongamos que hacemos trampa y elegimos un fluido que no cavita, o que lo presurizamos. Entonces hay que preguntarse por la compresibilidad, que las ecuaciones del Clay niegan por decreto. Todo fluido tiene una velocidad del sonido: unos 340 metros por segundo en el aire, unos 1.500 en el agua. Cuando la velocidad del flujo se acerca a ella, la densidad deja de ser constante, aparecen ondas de choque, y el sistema de ecuaciones cambia de naturaleza. Nueva física, nueva escala: el espesor de un choque, que es del orden del recorrido libre medio de las moléculas en su movimiento térmico. Segunda salida.

Supongamos que tampoco hay cambios de densidad (fluido incompresible). Queda el calor. La viscosidad no es un término de las ecuaciones: es un mecanismo físico, la fricción entre capas de fluido, y esa fricción produce calor a un ritmo proporcional al cuadrado del gradiente de velocidad. En una singularidad ese gradiente diverge, luego la disipación local diverge, luego la temperatura del núcleo sube, luego la viscosidad cambia (en los líquidos baja con la temperatura), luego el fluido se vaporiza o se disocia. Las ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles con viscosidad constante no contienen una ecuación de la energía; la Naturaleza sí (y la mecánica de fluidos general, también). Tercera salida.

Y supongamos, por agotar el juego, que elegimos el fluido que más lejos puede bajar por esa escalera: un líquido poco viscoso y buen conductor del calor, en volumen, sin paredes ni núcleos de cavitación, con la cohesión suficiente para sostener presiones negativas: mercurio ultrapuro, por ejemplo. Además, es conductor eléctrico, y por tanto el único fluido sobre el que una fuerza externa suave como la del enunciado podría ejercerse de verdad, con un campo magnético modulado adecuadamente. Aun así, llegará a la compresibilidad, y si la esquivamos, entonces y solo entonces, el radio del núcleo llega a la escala atómica y la hipótesis de medio continuo, que era la premisa de todo, se desvanece. Aquí es donde OpenAI creía que estaba la frontera. Está, sí, pero es la última de cuatro y la que menos importa: para cuando se llega a ella, la singularidad ha sido asesinada tres veces.

Nótese lo que tienen en común las cuatro salidas. Ninguna es un fallo de las ecuaciones. Cada una es la emergencia de una escala, o de un grado de libertad, que la descripción anterior había declarado irrelevante y que deja de serlo justo cuando la descripción anterior está a punto de producir un infinito. Landau lo dijo con su sequedad habitual: una singularidad en una ecuación física es la ecuación avisando de que se ha dejado algo fuera. La ecuación de Navier–Stokes es la sombra platónica en la pared de la caverna de un objeto (el fluido molecular, térmico, compresible, con superficies) del que ella retiene solo el perfil. Cuando la sombra se rompe, el objeto no. Se ha demostrado que la sombra puede romperse. Es un resultado matemático de primer orden, y es importante saberlo. Pero conviene no confundir el mérito de la demostración con su contenido físico, que es exactamente cero: nadie va a ver nunca el vórtice de la cascada con su infinito.

5. Lo que sí es real: la singularidad de al lado

No quisiera dejar la impresión de que las singularidades de Navier–Stokes son un juego de salón, porque hay casos en los que son cotidianas. Pongo un caso que el Clay excluyó de su enunciado. Abra el lector un grifo y ciérrelo hasta que el chorro se convierta en gotas. En el instante en que el hilo de agua se rompe, el radio del cuello tiende a cero, la curvatura de la superficie tiende a infinito, la presión capilar tiende a infinito y la velocidad de retracción tiende a infinito. Eso es una singularidad genuina de Navier–Stokes, se produce mil veces por segundo en cualquier cocina, y desde Eggers (1993) sabemos que es autosemejante y universal: la forma del cuello en los últimos microsegundos no depende de cómo era el chorro, solo del fluido. La diferencia con el vórtice del Clay es doble. Primera: ahí hay una superficie libre, con su tensión superficial, cosa que el problema del Clay no contempla (su fluido llena todo el espacio y no tiene bordes). Segunda, y más profunda: esa singularidad quiere ocurrir. No hace falta ningún metrónomo externo; la tensión superficial la empuja, la inercia y la viscosidad la conforman, y el fluido llega a ella por sí solo, tan cerca como la escala molecular permite, y luego se rompe, que es la manera que tiene la topología de resolver un infinito. Quien haya trabajado con chorros capilares sabe que la Naturaleza no solo tolera esta singularidad, sino que la busca.

Hay otro caso, en el que he trabajado años. Cuando una burbuja aflora en la superficie de un líquido y su película se rompe, el borde del agujero se retrae y lanza un tren de ondas capilares que baja por la cavidad que formaba la burbuja hasta su fondo, donde deja una minúscula columna de gas atrapada en el líquido: el negativo de un chorro capilar. Esa columna se estrangula exactamente como el hilo de agua del grifo, con los papeles cambiados, y su colapso es una singularidad en toda regla que se produce para toda una familia de fluidos y tamaños de burbuja. Pero aquí la singularidad no es el final de la historia sino el principio: de ella nace un chorro cuyas condiciones iniciales teóricas son tamaño nulo y velocidad infinita, y que en un tiempo que tiende a cero se decelera y engorda hasta valores físicos. La Naturaleza no evita esa singularidad: la usa, y de ahí salen los chorros más finos y rápidos que se conocen a partir de un líquido en reposo, y con ellos el aerosol marino que siembra las nubes del planeta. Es instructivo comparar: dos singularidades a las que el fluido acude por sí solo y que la física resuelve cambiando la topología (una rompiendo, otra disparando), frente a una a la que hay que arrastrarlo con una fuerza externa de precisión y que la física impide de cuatro maneras distintas antes de dejar que se forme.

6. Coda

Al Instituto Clay le queda un problema que no estaba en la lista. Sus reglas exigen publicación en una revista de prestigio y dos años de aceptación general por la comunidad antes de que el comité decida; y se reservan discreción para las pruebas que resuelvan el problema en espíritu pero no en letra. Nada de eso previó una demostración producida por diez mil procesos de una compañía que declara no querer el dinero, sobre una idea de dos matemáticos de Madrid que tampoco lo quieren (“no estamos aquí por dinero”, ha dicho Córdoba), completada primero por dos matemáticos de Nueva York con las máquinas de una compañía rival, y anunciada doce horas después de que estos publicaran la suya. Perelman rechazó el millón por razones que consideró de dignidad. Aquí lo rechazan, si es que lo rechazan, porque el millón es lo que cuesta un fin de semana de electricidad.

Y sin embargo hay algo que sí ha pasado, y que un blog de una Academia de Ciencias no debería minimizar por el ruido que lo rodea. Se ha cerrado una pregunta matemática de noventa años mediante un procedimiento en el que el papel del entendimiento humano ha consistido en formular la pregunta (Fefferman), abrir el camino (Córdoba y Martínez-Zoroa), elegir la estrategia (Buckmaster y Alpöge) y comprobar el resultado. Todo lo importante lo hicieron personas; lo que hizo la máquina fue el último tramo, y lo hizo a un coste que ninguna persona podría pagar. Es el papel del ingeniero, no del artesano. Que la respuesta sea físicamente vacía no la hace matemáticamente pequeña; y que la haya rematado un enjambre no la hace menos verdadera. Lo que sí hace es más urgente la pregunta que las ecuaciones de Navier–Stokes nos llevan planteando desde 1822 —hoy viva en todos los campos donde la física de fluidos busca modelos para comportamientos anómalos y elusivos, y los fluidos no newtonianos son un ejemplo duro— y que ningún enjambre va a responder por nosotros: cuánto de lo que sabemos es el objeto, y cuánto es la sombra.