La transformada rápida de Fourier (FFT) se asocia habitualmente con un artículo de 1965, pero la idea es mucho más antigua: Gauss la empleaba hacia 1805 y varios autores la redescubrieron de forma parcial antes de que Cooley y Tukey la hicieran popular. Este ensayo repasa esa historia a partir de los relatos de sus protagonistas, expone el fundamento matemático del algoritmo y explica por qué acabó en el dominio público.

Introducción y antecedentes

La FFT es un algoritmo para calcular la transformada discreta de Fourier (DFT) de una secuencia de \(N\) muestras \(x_n\): $$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_nW_N^{nk}$$ con \(W_N=e^{-2\pi i/N}\) y \(k=0,\dots, N-1\).

El análisis en frecuencia se remonta a Fourier (1807, 1822). Calculada directamente, la ecuación (1) requiere del orden de \(N^2\) multiplicaciones complejas. La FFT reduce ese coste a \((N/2)\log_2N\) cuando \(N\) es una potencia de 2, y a \(O(N\log N)\) en general.

La idea de fondo es bastante anterior a 1965. Hacia 1805, Gauss interpolaba trigonométricamente las órbitas de los asteroides Pallas y Juno y recurrió a un procedimiento que divide una serie de \(N=ab\) términos en subseries, que es en esencia el de la FFT. No lo publicó. El texto, escrito en latín, apareció tras su muerte, en 1866 [4]. Más tarde surgieron versiones parciales, como la de Danielson y Lanczos (1942) o la de I. J. Good (1958), que tampoco llamaron la atención [2, 4]. Cooley y Tukey apuntan una razón: con los valores pequeños de \(N\) propios del cálculo manual, otros métodos basados en las simetrías de senos y cosenos eran más eficientes, y la ventaja asintótica solo se hizo visible con los ordenadores y valores grandes de \(N\) [3].

Cómo se pasó de ahí a una herramienta de uso general en 1965 es lo que se cuenta a continuación (figura 1).

Del comité de 1963 al algoritmo

En 1963 se firmó el Tratado de Prohibición Parcial de Ensayos Nucleares, que prohibía las explosiones en la atmósfera, el espacio exterior y bajo el agua, pero no las subterráneas. Para avanzar hacia una prohibición total había que poder vigilar estas últimas a distancia, ya que la Unión Soviética no aceptaba inspecciones en su territorio, y el análisis espectral de los datos sísmicos chocaba con el coste de calcular las transformadas [2, 3].

El origen inmediato de la FFT está en una reunión del Comité Asesor Científico del presidente Kennedy. Allí, el físico Richard Garwin, de IBM, vio que John W. Tukey (Princeton) estaba garabateando fórmulas de Fourier. Tukey le explicó que, si \(N=ab\), la DFT puede expresarse como una serie de \(a\) términos formada por subseries de \(b\) términos, con lo que el coste pasa de \(N^2\) a \(N(a+b)\). Repitiendo el procedimiento se llega a un coste proporcional a \(N\log N\) [3]. Garwin acudió al centro de cálculo de IBM, que lo envió a James W. Cooley. Le planteó como problema el cálculo de las periodicidades de espín en un cristal de helio-3, aunque, como Cooley supo más tarde, lo que de verdad le interesaba era la vigilancia sísmica [2]. Al principio Cooley no vio la importancia del método y lo dejó por detrás de su propia investigación, hasta que las llamadas de Garwin lo empujaron a programarlo. El resultado fue un algoritmo radix-2 que sobrescribía los datos con los resultados y que servía para una, dos y tres dimensiones [3].

El fundamento matemático es breve. Si \(N\) es par, separando las muestras de índice par e impar y usando \(W_N^{2nk}=W_{N/2}^{nk}\), la ecuación (1) se escribe $$X_k=\sum_{n=0}^{N/2-1}x_{2n}W_{N/2}^{nk}+W_N^k\sum_{n=0}^{N/2-1}x_{2n+1}W_{N/2}^{nk}$$

Llamemos \(E_k\) y \(O_k\) a esos dos sumatorios. Ambos son DFT de tamaño \(N/2\) y tienen periodo \(N/2\) en \(k\). Como además \(W_N^{k+N/2}=-W_N^k\), basta calcularlas para \(k=0,\dots, N/2-1\) y obtener todos los coeficientes

\begin{align*} X_k&=E_k+W_N^kO_k,\\X_{k+N/2}&=E_k-W_N^kO_k.\end{align*}

Esta operación es la «mariposa» de la figura 2. Si se aplica de forma recursiva, el número de multiplicaciones complejas cumple \(M(N)=2M(N/2)+N/2\) con \(M(1)=0\), y por tanto $$M(N)=(N/2)\log_2 N$$. 

El artículo de 1965 trata factorizaciones generales de \(N\) e informa de unos 0,02 minutos para una DFT compleja de 2048 puntos en un IBM 7094 [1]. La mejora aumenta con \(N\), como muestra la tabla 1.

\begin{matrix} N & N^2 & N\log_2N & N^2/(N\log _2N) \\ \hline
2^{10} & 1,0\times 10^{6}& 1,0\times 10^{4} & \approx 10^{2}\\ 2^{20} & 1,1\times 10^{12}& 2,1\times 10^{7} & \approx 5\times 10^{4} \end{matrix}

Publicación, dominio público y difusión

Cuando Cooley presentó el algoritmo en un seminario de IBM, entre los asistentes había un abogado de patentes con formación matemática, Frank Thomas, que apuntó que podía haber posibilidades de patente. Se convocó una reunión de matemáticos y abogados, y Cooley llamó a Tukey para saber de dónde había sacado la idea. Tukey le remitió a los trabajos de Yates y de Good, pero no apareció ningún uso previo del algoritmo. Se decidió entonces ponerlo en el dominio público para que nadie pudiera patentarlo: Shmuel Winograd y Ray Miller diseñaron un dispositivo de cálculo basado en la FFT, y el artículo lo mencionó en una nota al pie [2, 3]. Cooley invitó a Tukey a firmar el trabajo, que envió a Mathematics of Computation hacia agosto de 1964 y se publicó en abril de 1965 [1]. Garwin, por su parte, se encargó de difundir el programa entre sus contactos y de organizar seminarios en IBM [2].

Conviene no exagerar el alcance de esa decisión. Publicar el algoritmo impide que alguien lo reivindique como novedad, pero no impide patentar implementaciones concretas, como procesadores dedicados a la FFT, y por entonces la patentabilidad de los algoritmos matemáticos ya era discutible.

No fueron los únicos en llegar a la idea. Gordon Sande conoció el método en un curso de Tukey en 1963 y desarrolló un programa y un artículo, que no llegó a publicar en su forma original al saber que el de Cooley y Tukey ya estaba enviado [2, 3]. Con Morven Gentleman publicó más tarde un análisis del error de la FFT [5], y su variante con diezmado en frecuencia se conoce hoy como algoritmo de Sande-Tukey. Philip Rudnick, por su parte, programó el método de Danielson y Lanczos, pero no lo publicó porque solo quería analizar sus datos [2].

Legado y conclusión

La FFT abarata la convolución, gracias al teorema de convolución, y con ella el filtrado digital y el análisis espectral. Hoy se usa en la modulación OFDM de Wi-Fi, LTE y la televisión digital terrestre (IFFT en el transmisor y FFT en el receptor), en la reconstrucción de imagen de la resonancia magnética, en el filtrado de la tomografía computarizada, en la codificación de audio (MP3 emplea la transformada de coseno discreta modificada y un modelo psicoacústico basado en la FFT) y en la multiplicación rápida de enteros y polinomios.

Hoy «FFT» no es un único algoritmo, sino una familia. Las implementaciones combinan radix mixto, split-radix, factores primos y los métodos de Rader y de Bluestein para tamaños primos, y bibliotecas como FFTW eligen en tiempo de ejecución la variante más rápida para cada máquina [7]. Gilbert Strang llegó a calificarla como «el algoritmo numérico más valioso de nuestra vida» [8].

La idea tardó más de siglo y medio en pasar de curiosidad de cálculo a herramienta general. Cuando por fin lo hizo, fue porque un problema urgente exigía calcularla y porque se decidió publicarla sin trabas. Garwin señaló en 1969 lo difícil que es que una técnica nueva llegue a usarse ampliamente [6], y Cooley recomendaba volver a mirar los trabajos antiguos, porque pueden contener ideas que solo la tecnología posterior sabrá aprovechar [2].

Nota: Este ensayo se ha elaborado con la asistencia de un modelo de inteligencia artificial (Claude, de Anthropic, octubre de 2026).

Referencias

[1]     Cooley, J. W. y Tukey, J. W. (1965). An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Mathematics of Computation, 19(90), 297–301.

[2]     Cooley, J. W. (1987). The re-discovery of the fast Fourier transform algorithm. Mikrochimica Acta, III, 33–45.

[3]     Cooley, J. W. y Tukey, J. W. (1993). On the origin and publication of the FFT paper. Current Contents, 33(51–52), 8–9.

[4]     Heideman, M. T., Johnson, D. H. y Burrus, C. S. (1985). Gauss and the history of the fast Fourier transform. Archive for History of Exact Sciences, 34, 265–277.

[5]     Gentleman, W. M. y Sande, G. (1966). Fast Fourier transforms—for fun and profit. AFIPS Proc. Fall Joint Computer Conference, 29, 563–578.

[6]     Garwin, R. L. (1969). The fast Fourier transform as an example of the difficulty in gaining wide use for a new technique. IEEE Trans. Audio and Electroacoustics, AU-17(2), 68–72.

[7]     Frigo, M. y Johnson, S. G. (2005). The design and implementation of FFTW3. Proceedings of the IEEE, 93(2), 216–231.

[8]       Strang, G. (1993). Wavelet transforms versus Fourier transforms. Bulletin of the American Mathematical Society, 28(2), 288–305.