Esta entrada está dedicada al fenómeno que parece haber tenido como consecuencia el derrumbamiento del puente de Tacoma-Narrows en el Estado de Washington, en el estrecho de Puget Sound (entre Tacoma y la península de Kitsap). Hace muchos años, en una clase de lo que entonces se denominaba Análisis Matemático III, el primer autor decidió a mediados de curso ilustrar el comportamiento de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales adecuado con la historia que sigue. En aquella época no era nada usual tomar decisiones de ese tipo. Muchos de los colegas matemáticos solían tener a gala «huir» de toda posible aplicación, fuera cual fuera su especialidad. Aún peor, intentaban transmitir la idea de que era «impuro» interesarse por las motivaciones de los problemas, como si se estuvieran traicionando ideales.

Afortunadamente, esta tendencia ha ido menguando a lo largo de los años. Sin embargo, por poner algunos ejemplos de enseñanza «mejorable», citaremos la ausencia o al menos la falta de insistencia en estudios como el Grado y el Máster de Matemáticas de lo que sigue:

• El significado físico que tienen en Mecánica Cuántica el espectro y las autofunciones de un operador elíptico de segundo orden.
• Las posibilidades que abre la teoría de grupos en Física Atómica cuando se quiere modelar el átomo.
• La conexión de la Geometría Riemanniana y Lorentziana con la Relatividad General.
• Las aplicaciones al diseño óptimo de edificios de la Optimización Entera.
• Por supuesto, las consecuencias que tiene y tendrá la irrupción de la Inteligencia Artificial (como herramienta suplementaria y también como útil alternativo) en el aprendizaje matemático.

Los antecedentes

El puente de Tacoma Narrows fue inaugurado en julio de 1940. En su momento, se trató del tercer puente colgante más largo del mundo. Prácticamente desde su apertura, se observaron en el mismo oscilaciones inusuales que fueron cambiando de un sentido vertical a otro transversal o mixto.

Esto lo convirtió en una atracción. Miles de curiosos acudían a observar el fenómeno, preguntándose el porqué y al mismo tiempo seguros de que la estructura no corría peligro. De hecho, un banco local desplegó un anuncio en las cercanías con el lema «As sure as Tacoma bridge».

El trágico suceso

El 7 de noviembre de 1940 a las 09:30 se observaron fuertes oscilaciones transversales, que acabaron generando una vibración torsional intensa y, a continuación, el desprendimiento de algunas secciones. Hacia las 11:10 la tensión mecánica alcanzó niveles excesivos y se produjo una ruptura de la estructura y la caída del puente al agua del estrecho.

La única víctima fue un cocker spaniel llamado Tubby. Quedó atrapado en el coche de su dueño, un periodista que intentaba cubrir la noticia.

De todo esto se conserva un testimonio visual, véase https://www.youtube.com/shorts/Q3fJZ_tYtkM

Es conocido que el Gobernador del Estado pronunció esa misma noche un emotivo discurso que acabó con la frase «We will (re)build the same bridge exactly in the same place, exactly as before». El conocido ingeniero Theodore von Kármán, miembro del clan de los «Marcianos» (científicos húngaros emigrados a EEUU a partir de los 30 que marcaron un antes y un después en la Ciencia y en la Ingeniería), le respondió con un no menos famoso telegrama: «If you build exactly the same bridge exactly as before exactly in the same place, it will fall down exactly as before, exactly in the same way».

La explicación inicial

Está claro que el colapso del puente se debió a la acción del viento. Durante algún tiempo, se pensó que la explicación estaba en que se había producido un fenómeno conocido como resonancia.

La resonancia mecánica se produce cuando un cuerpo está sometido a una fuerza exterior periódica de frecuencia próxima (o igual) a la frecuencia natural del mismo. En ausencia de amortiguamiento, si las frecuencias coinciden, la amplitud de las oscilaciones crece sin límite. La resonancia fue responsable de (al menos) dos acontecimientos históricos que merece la pena citar aquí: las caídas de los puentes de Broughton (Inglaterra, 1831) y Basse-Chaîne (Angers, Francia, 1850). En el primer caso, un destacamento de soldados que cruzaba la estructura marchando de forma sincronizada hizo que el puente oscilara con tanta fuerza que terminó cayendo al río Irwell, afortunadamente sin víctimas. En el segundo, el paso de la columna militar se vio agravado por la acción del viento y la corrosión de los anclajes y hubo que lamentar 226 muertos.

Sin embargo, en el caso del puente de Tacoma, esta explicación no es correcta. Entre otras cosas, se sabe que las oscilaciones no verticales que aparecieron fueron determinantes. El mismo von Kármán dio cuenta de las mismas y comprendió que la causa era distinta.

Como dato curioso, digamos que la explicación basada en la resonancia, a pesar de ser errónea, aparece en numerosos libros de texto, véase [2].

En 2001, todavía no había una opinión unánime sobre las causas del desastre, véase [10]; véase también [4] para una descripción detallada del debate que siguió al colapso.

La explicación definitiva

Es cierto que el viento que azota un objeto no aerodinámico (un puente) genera una capa límite sobre la superficie de contacto que se desprende aguas abajo generando una sucesión alternada de remolinos o vórtices denominada «calle de von Kármán» que a su vez tiene como efecto una fuerza periódica vertical. También es cierto que, si la frecuencia de la fuerza se aproxima a la frecuencia natural del cuerpo, aparecen oscilaciones; pero éstas modifican la intensidad de la fuerza y, a medida que crece el tiempo, el acoplamiento hace que la amplitud de las oscilaciones se autolimite. Se suele decir que se está produciendo el fenómeno VIV (vibraciones inducidas por vórtices).

El fenómeno VIV da origen, por ejemplo, al silbido de los cables de alta tensión expuestos al viento y al colapso de algunas chimeneas industriales. La caída del puente de Tacoma se explica por aparición de un fenómeno distinto, llamado flameo aeroelástico (aeroelastic flutter).

Al igual que en la resonancia y el fenómeno VIV, el flameo aeroelástico se debe al acoplamiento de las fuerzas que actúan sobre un objeto y está generalmente causado por el flujo del aire. En el primer caso, la acción del viento está prefijada y no se ve afectada por el movimiento que acaba generando. Por el contrario, el fenómeno VIV y el flameo se caracterizan por una interacción de la estructura con el flujo del viento. Además, cuando se produce flameo, la estructura modifica la dirección e intensidad de éste y genera fuerzas de orden de magnitud cada vez mayor.

El flameo aeroelástico puede estar presente en muchos procesos aeronáuticos y aeroespaciales; en consecuencia, conviene someter a las aeronaves a rigurosas pruebas antes de ser autorizadas a navegar o volar. En [9], los autores comparan los fenómenos de flameo de puentes colgantes con los de aviones en vuelo y diseñan una metodología específica para cuantificar ambos procesos.

Hoy día, se acepta mayoritariamente la siguiente explicación global del colapso:

– Hubo una fase inicial VIV en la que la calle de vórtices de von Kármán generó oscilaciones verticales autolimitadas. El puente convivió con ellas sin deterioro aparente (aunque existe la posibilidad de que se generara fatiga, esto es, un daño acumulado por los ciclos de carga).

– El desencadenante del 7 de noviembre fue el aflojamiento de una abrazadera del

cable norte en el centro del vano, que inició torsiones antisimétricas. A partir de ese momento, se desarrolló un flameo torsional autoexcitado durante 1 hora. A lo largo de dicho período, la estructura continuó absorbiendo energía del viento e inevitablemente se acabó produciendo la rotura.

Para una simulación realista del flameo, acompañada de imágenes del desastre, véase

https://www.ipwea.org/blogs/intouch/2018/05/30/watch-this-classic-video-of-a-spectacular-bridge-c.

Para saber más (I): Las EDOs que modelan la resonancia, el fenómeno VIV y el flameo aeroelástico

Los sistemas diferenciales que describen la resonancia, el fenómeno VIV y el flameo son relativamente sencillos.

En el caso de la resonancia, en primera aproximación basta medir la oscilación vertical \(h = h(t)\) del objeto. La EDO es
\[
h_{tt} + \omega_0^2 h = \frac{1}{m}\,F(t),
\]
donde podemos suponer que \(F\) describe una fuerza periódica de intensidad

\(F_0\) y frecuencia \(\omega\), esto es, \(F(t) = F_0 \cos (\omega t)\). Aquí, \(m\) y \(\omega_0\) denotan respectivamente la masa por unidad de longitud y la frecuencia natural del sólido. Como se ha indicado, a medida que \(\omega\) se parece a \(\omega_0\), aparecen soluciones que toman valores cada vez más grandes en valor absoluto; véanse las Fig. 4 y 5.

Para modelar el fenómeno VIV, podemos recurrir a un sistema de EDOs para \(h\) y una nueva variable \(q = q(t)\) (llamada variable de estela) que describe el comportamiento fluctuante y asimétrico del fluido detrás del objeto y debe ser solución de una ecuación de tipo van Der Pol, véase [6]. El sistema toma la forma
\[
\left\{
\begin{array}{l}\displaystyle
m h_{tt} + c_h h_t + k_h h = F_0 q,
\\
q_{tt} + \epsilon \omega_s (q^2 – 1) q_t + \omega_s^2 q = A h,
\end{array}
\right.
\]
donde \(h\) y \(m\) son como antes, \(c_h\) y \(k_h\) son respectivamente coeficientes de amortiguamiento y rigidez, \(F_0 q\) es la fuerza de sustentación ejercida por el fluido, \(\epsilon\) es un parámetro asociado a la amplitud límite de la estela en estado estacionario, \(\omega_s\) es la frecuencia de desprendimiento de los vórtices y \(Ah\) determina el efecto del movimiento del sólido sobre el fluido.

Este fenómeno ha sido ilustrado con una experiencia numérica donde los valores de las constantes corresponden al puente de Tacoma en las Fig. 6 y 7.

En el caso del flameo aeroelástico, necesitamos conocer no sólo el desplazamiento vertical del objeto, sino también su ángulo de rotación \(a = a(t)\). Por su interés, consideraremos aquí un modelo simplificado (el modelo del tablero de puente) en donde tenemos un nuevo sistema acoplado:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}\displaystyle
m h_{tt} + c_h h_t + k_h h = -L(t),
\\
Ia_{tt} + c_a a_t + k_a a = M(t).
\end{array}
\right.
\]

Ahora, \(c_a\) y \(k_a\) son coeficientes de amortiguamiento y rigidez estructural frente a la torsión e \(I\) es el momento de inercia respecto del eje de rotación (la línea central longitudinal del tablero del puente). Los segundos miembros \(L\) y \(M\) denotan respectivamente la fuerza de sustentación aerodinámica (que actúa verticalmente) y el momento aerodinámico por unidad de longitud. En realidad, dependen de la velocidad del desplazamiento vertical y la rotación y sus derivadas temporales. En el modelo lineal simplificado, podemos tomar
\[
L(t) := \frac{1}{2} \rho \, U(t)^2 B K \left(H_1^* \frac{h_t}{U(t)} + H_2^* \frac{B a_t}{U(t)}
+ K H_3^* a + K H_4^* \frac{h}{B} \right)
\]
y
\[
M(t) := \frac{1}{2} \rho \, U(t)^2 B^2 K \left(A_1^* \frac{h_t}{U(t)} + A_2^* \frac{B a_t}{U(t)}
+ K A_3^* a + K A_4^* \frac{h}{B} \right)
\]
donde \(\rho\) es la densidad del aire, \(U = U(t)\) es la velocidad del viento, \(B\) es el ancho total del tablero del puente, \(K = \omega B / U(t)\) es la frecuencia reducida (\(\omega\) es la frecuencia angular de la oscilación del puente) y los valores de los coeficientes \(H_i^*\) y \(A_i^*\), denominadas derivadas aeroelásticas de Scanlan, se determinan experimentalmente, véase [9]. El signo negativo en el segundo miembro de la primera EDO indica que los valores positivos de \(h(t)\) se identifican con un desplazamiento hacia abajo.

El comportamiento de las soluciones está descrito en las Fig. 8 y 9 (de nuevo habiendo tomado constantes cuyos valores corresponden al puente de Tacoma).

Con modelos más elaborados, se puede conseguir una descripción más precisa de las oscilaciones verticales, el ángulo de torsión y otros elementos presentes en el desastre del puente de Tacoma. Así, es posible ilustrar el comportamiento aceptando que la estructura se comporta como una viga elástica complementada con secciones transversales rígidas (algo así como la espina dorsal de un pez). El modelo se reduce a un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineal que, una vez adimensionalizado, para ciertas constantes positivas \(c_1\) y \(c_2\) y ciertas funciones no lineales \(f_1\) y \(f_2\), toma la forma
\[
\left\{
\begin{array}{l}\displaystyle
h_{tt} + c_1 h_{xxxx} + f_1(h,a) =0,
\\
a_{tt} – c_2 a_{xx} + f_2(h,a) = 0
\end{array}
\right.
\]
y debe ser satisfecho para \((x,t) \in (0,\ell) \times(0,T)\). Naturalmente, aquí \(x\) se identifica con la variable longitudinal a lo largo del puente.

Yendo aun más lejos, es razonable aceptar que el comportamiento corresponde al de una placa elástica, modelada por un sistema de tipo von Kármán, donde las incógnitas son el desplazamiento vertical \(u = u(x,y,t)\) de los puntos \((x,y)\) del tablero y los instantes de tiempo \(t\) y la función de Airy \(\Phi = \Phi(x,y,t)\) asociada al tensor de tensiones.

Para una discusión detallada sobre la utilidad y veracidad de todos estos modelos, véase [4].

Para saber más (II): Algunas referencias

1. G. Arioli, F. Gazzola, A new mathematical explanation of what triggered the catastrophic torsional mode of the Tacoma Narrows Bridge, Applied Mathematical Modelling, Vol. 39, No. 2, pp 901-912, 2015.
2. K.Y. Billah, R.H. Scanlan, Resonance, Tacoma Narrows bridge failure and undergraduate physics textbooks, American Journal of Physics, 59, 2, 118, 1991.
3. Encyclopaedia Britannica: Tacoma Narrows Bridge, In Encyclopædia Britannica, October 2026, https://www.britannica.com/topic/Tacoma-Narrows-Bridge.
4. F. Gazzola, Mathematical Models for Suspension Bridges, Nonlinear Structural Instability, Springer Cham, 2015.
5. D. Green, W.G. Unruh, The failure of the Tacoma Bridge: A physical model, Amer. J. Phys. 74, 706 (2006).
6. R.T. Hartlen, I.G. Currie, Lift-Oscillator Model of Vortex-Induced Vibration, J. of the Engineering Mechanics Division, Volume 96, Issue 5, Oct 1970.
7. A.C. Lazer, P.J. McKenna, Large-Amplitude Periodic Oscillations in Suspension Bridges: Some New Connections with Nonlinear Analysis, SIAM Review, Vol. 32, Issue 4 (1990).
8. P.J. McKenna, Large Torsional Oscillations in Suspension Bridges Revisited: Fixing an Old Approximation, The American Mathematical Monthly, Volume 106, 1999 – Issue 1.
9. R.H. Scanlan, J.J. Tomko, Airfoil and Bridge Deck Flutter Derivatives, Journal of the Engineering Mechanics Division, Volume 97, Issue 6, 1971.
10. R. Scott, In the Wake of Tacoma: Suspension Bridges and the Quest for Aerodynamic Stability, ASCE Press, 2001.