En 1854, casi tres décadas después de que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicara su obra cumbre sobre geometría diferencial de superficies (véase Las otras Disquisitiones de Gauss), se iba a incorporar a la Universidad de Gotinga un nuevo privatdozent –una especie de profesor ayudante sin sueldo, sólo lo que voluntariamente le quisieran pagar los alumnos–. Atendía al nombre de Bernhard Riemann (1826-1866). Como se ve, y decía en la primera parte de esta entrada Riemann y el camino hacia la relatividad general, I, se cumplen este año 200 años de su nacimiento, el 17 de septiembre para ser precisos.
Para acceder al puesto de privatdozent, el candidato tenía que presentar una tesis de habilitación e impartir una lección inaugural. Para la lección inaugural, Riemann presentó tres posibles temas; lo habitual era que se hubiera elegido el primero de ellos o, en todo caso, el segundo, pero Gauss, que era quien elegía, prefirió el tercero de los propuestos, que llevaba el título Sobre las hipótesis que forman los fundamentos de la geometría. Como comenté en la anterior entrada, en ese trabajo Riemann propuso un marco unificado para todas las geometrías conocidas hasta entonces, la euclídea y las muchas no euclídeas descubiertas a lo largo de la primera mitad del siglo XIX. Y ese marco fue esencial para que Einstein pudiera formular seis décadas después su teoría general de la relatividad.
Gauss conocía bien a Riemann –había supervisado su tesis doctoral en 1851–, lo tenía en alta estima, y no pudo resistirse a saber qué tenía que decir aquel joven sobre geometría. El que Gauss eligiera el tercero de los temas que había propuesto, el que tenía menos preparado, le creó cierta angustia al candidato; claro que causarle angustia a Riemann no parecía algo complicado.
Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, Hannover. Fue el segundo de los seis hijos de un pastor protestante; se acostumbró cada día a examinar su conciencia «ante la mirada de Dios», y, sobrepasada la treintena, contempló la posibilidad de escribir una obra filosófica, con base matemática y posiblemente física, sobre la corrección de la historia bíblica de la creación y otros mitos cristianos –no lo llegó a hacer, aunque sí escribió filosofía en la que se pueden encontrar residuos de esas ideas–. Riemann tuvo un carácter retraído, melancólico, modesto, y con tendencias hipocondríacas y depresivas. «Hay que hacer todo lo posible para arrancar a un hombre tan excelente y científicamente tan importante como Riemann de su estado actual, realmente infeliz –escribió Dedekind a su familia, con motivo de haberle cedido a Riemann una casa en las montañas del Harz para que se recuperara del agotamiento y colapso que le produjo acabar sus estudios sobre funciones abelianas–; pero no debe percibir dicho objetivo con claridad; siempre ha sido difícil hacerle un favor, y sólo es posible conseguir que acepte alguna amabilidad cuando consigue uno convencerle de que lo hace tanto en interés propio como en el suyo; odia causar molestias a otras personas».
Salvo los seis últimos años de su corta vida, Riemann sufrió dificultades y penurias económicas. A pesar de la pobreza de su familia, inició estudios de teología en la Universidad de Gotinga que, de haberlos terminado, le hubieran garantizado acceso rápido a un sueldo como pastor; pero las matemáticas se cruzaron en su camino y la verdadera vocación pudo más. Tras estudiar un tiempo con Gauss, Riemann pasó a la Universidad de Berlín –la mejor, por entonces, de Alemania–, donde tuvo como profesores a toda una constelación de figuras matemáticas: C.G. Jacobi (1804-1851), P.G. Dirichlet (1805-1859), J. Steiner (1796-1863) y G. Eisenstein (1823-1852). Volvió a Gotinga en 1850; allí defendió en 1851 su tesis doctoral bajo la supervisión, probablemente nominal, de Gauss, y consiguió un puesto de privatdozent en 1854. La situación económica de Riemann fue de paupérrima a lo directamente miserable, especialmente cuando, tras la muerte de un hermano y una hermana –en 1858–, se tuvo que hacer cargo de la familia; todo lo cual lo acabó sumiendo en una profunda depresión.
Gauss murió en 1855 y su puesto fue ocupado por Dirichlet, que murió a su vez cuatro años después, lo que permitió a Riemann ser catedrático con tan solo 33 años. La consiguiente mejora de su situación económica se reforzó en lo personal tres años después, cuando contrajo matrimonio con la amiga de una de sus hermanas –la fama de retraído que Riemann tenía en el trato con las mujeres hace probable que su hermana ejerciera como celestina–. Pero las penalidades sufridas en las décadas anteriores acabaron pasando factura, y Riemann enfermó de tuberculosis. Los siguientes años pasó temporadas largas en Italia, donde su salud se recuperó algo. Allí trabó amistad con Enrico Betti (1823-1892), Eugenio Beltrami (1835-1900) y otros matemáticos italianos. La tuberculosis, sin embargo, fue una condena a muerte, que le alcanzó junto al lago Maggiore en junio de 1866, cuando se dirigía de nuevo a Italia.
Pero volvamos a 1854, y al momento en que Gauss eligió el tercero de los temas que Riemann había propuesto para su lección inaugural como privatdozent. El asunto angustió a Riemann; por un lado había preparado los dos primeros y esbozado sólo el tercero, pensando que Gauss seguiría la tradición de elegir uno de esos; por otro, esos días andaba enfrascado en estudios sobre física, y le costó trabajo concentrarse y preparar su lección sobre geometría. Pero al final lo hizo, y lo hizo de manera magistral; de lo acontecido en la lección tenemos el relato detallado que hizo Dedekind: «Riemann complicó de un modo esencial la preparación de su lección sobre las hipótesis de la geometría, debido a su esfuerzo por resultar tan fácil de comprender como fuera posible a todos, incluyendo los miembros de la Facultad no versados en matemáticas; con ello, empero, el tratado se convirtió en una admirable obra maestra también en lo tocante a exposición, pues, sin comunicar la investigación analítica, indica con tanta precisión el camino seguido por la misma, que es posible rehacerla completamente siguiendo dichas prescripciones. Contra la costumbre habitual, Gauss no había elegido el primero de los tres temas propuestos, sino el tercero, ya que estaba deseando escuchar cómo un hombre tan joven podría tratar un tema tan difícil; la lección, que superó todas sus expectativas, le dejó completamente asombrado, y a la vuelta de la sesión de Facultad le habló a Wilhelm Weber de la profundidad de los pensamientos expuestos por Riemann con el mayor reconocimiento y con una excitación rara en él».
Riemann amplió y detalló sus propuestas sobre la geometría en 1861, en un trabajo sobre conducción del calor que presentó a un premio de la Académie de París. Pero sus ideas tardaron en diseminarse, porque su lección inaugural no se publicó hasta 1868, dos años después de su muerte, y, al no ganar el premio de la Académie, el trabajo presentado quedó inédito y no se publicó hasta 1876 –cuando se editaron sus obras completas–.
Riemann propuso las variedades n-dimensionales como el objeto de estudio de la geometría. Pasó pues de las dos dimensiones de las superficies de Gauss a un número cualquiera de dimensiones. De una variedad de dimensión n conocemos que cada punto viene dado por n coordenadas \(x_1,\dots, x_n\), y la forma de medir distancias entre sus puntos, definida por el elemento de longitud de arco
$$ds^2=\sum_{i,j=1}^ng_{i,j}dx_idx_j,$$
donde \(g_{i,j}\) son funciones de las coordenadas. El espacio euclídeo corresponde con el caso n=3 y \(g_{i,j}=1\), si \(i=j\), \(g_{i,j}=0\), si \(i\not=j\), y la geometría diferencial de Gauss sería el caso particular cuando n=2. Pero Riemann, a diferencia de Gauss, distinguió entre la variedad y las métricas \(ds^2\) que se pudieran establecer sobre ella; la variedad sería para Riemann un concepto topológico que adquiriría características propiamente geométricas al ser dotado de una métrica.
Riemann extendió el concepto de curvatura de Gauss para variedades n-dimensionales, asociando a cada punto de la variedad infinitas superficies bidimensionales generadas por ciertas geodésicas que pasan por el punto. Cada una de esas superficies bidimensionales tiene una curvatura gaussiana, que pueden ser generadas por \(n(n-1)/2\) de esas curvaturas, si la variedad tiene dimensión n. La curvatura pasó así a ser un conjunto de números –un tensor, si queremos ser más precisos con la estructura de este conjunto de números– en vez del valor único de la curvatura gaussiana. Pero, al igual que ocurre con las superficies bidimensionales, el tensor de curvatura es una característica intrínseca de la variedad –sólo depende de las funciones \(g_{i,j}\)–.
Eugenio Beltrami, a quien Riemann había tratado en Italia, y Elwin Christoffel (1829-1900) fueron los primeros en continuar los estudios de Riemann. Después siguieron muchos otros, entre los que hay que destacar a los italianos Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) y su discípulo Tulio Levi-Civita (1873-1941), que desarrollaron lo que hoy en día se conoce como cálculo o análisis tensorial. Inicialmente, ese análisis fue llamado cálculo diferencial absoluto porque, a diferencia del habitual cálculo diferencial, el cálculo tensorial provee herramientas que son independientes de la elección de coordenadas y, por tanto, permiten estudiar los invariantes diferenciales de la geometría riemanniana.
Como contaré en la tercera y última parte de esta entrada, los planteamientos geométricos de Riemann, junto con las herramientas del análisis tensorial, fueron esenciales para la formulación de la relatividad general de Einstein.
Referencias:
Antonio J. Durán, Crónicas matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.
