Ahora que vamos dejando atrás las vacaciones en la playa, echemos un vistazo a la física de los castillos de arena. Todos sabemos que para hacer un castillo de arena en la playa hace falta arena mojada. La arena seca no permite hacer paredes verticales, por lo que no podemos hacer murallas ni torres que se mantengan en pie. En una entrada anterior “No puedes hacer un reloj de arena con harina” explicamos que la arena se comporta como un material granular poco cohesivo: el tamaño de los granos, entre 125 y 200 micras, es tal que su peso es más importante que las fuerzas de cohesión, por lo que no se adhieren entre ellos. Podemos hacer un montículo con un ángulo de inclinación máximo de unos 35 grados, que viene determinado por la fricción entre granos, pero no podemos superar por mucho ese valor. Y mucho menos conseguir una pared vertical. En primera aproximación, el ángulo de reposo del material no cohesivo puede entenderse analizando cómo un grano de la superficie se sostiene encajado entre los otros granos. Si, partiendo de una superficie horizontal, vamos aumentando progresivamente el ángulo de inclinación, llega un momento en que el grano no tiene suficiente soporte y cae. Podemos ver que el grano difícilmente se sostiene por encima de unos 30 grados. En definitiva, para tener una pared vertical es necesario que exista cohesión entre los granos.

Para entender por qué la arena mojada permite construir castillos en la playa tenemos que acudir al concepto de capilaridad: la capacidad de un líquido de subir por un tubo delgado o capilar. Dos fuerzas principalmente explican el fenómeno. Por un lado, la adhesión, que es la atracción entre las moléculas del líquido y las paredes del sólido, hace que el agua moje bien los granos de arena. Por otro, la cohesión, que es la fuerza de atracción entre sí de las moléculas del líquido, hace que las moléculas de agua prefieran estar en el interior que en la superficie. Las fuerzas atractivas entre las moléculas hacen que la energía potencial sea menor cuando están juntas que separadas. Si una molécula está en el interior del líquido está rodeada de las otras moléculas por todas partes. Pero si está en la superficie la rodearán la mitad de las moléculas que la rodeaban en el volumen. Esto hace que estar en la superficie sea desfavorable energéticamente: si queremos mandar una molécula a la superficie nos cuesta cierta cantidad de energía, la equivalente a la interacción de las moléculas con las que va a dejar de estar en contacto. La conclusión de todo ello es que la superficie de un líquido lleva aparejada una energía que, en general, es proporcional a su área. En ausencia de otras fuerzas, minimizar la energía significa minimizar la superficie. Por eso el agua tiende a formar gotas esféricas, porque la esfera es la superficie de menor área para un volumen dado.

Si humedecemos los dedos índice y pulgar, hacemos la pinza y los separamos un milímetro, más o menos, veremos que se forma una gota de forma casi cilíndrica que une los dos dedos: es lo que se conoce como puente líquido. La superficie de agua se comporta como una membrana elástica. Como la tendencia es a minimizar la superficie el agua tira de los dos extremos intentando acercar los dedos (esta fuerza es, por supuesto, imperceptible para nosotros).

Figura 1: Fotomicrografía de gránulos humedecidos. Cortesía de Carlos Soria-Hoyo [1].

Estamos ya en condiciones de entender qué ocurre con la arena mojada. La figura 1 muestra una fotografía de bolas de vidrio de pequeño tamaño en una atmósfera con una humedad relativa alta. El agua que se condensa sobre las bolitas forma puentes líquidos que hacen que los granos se atraigan entre sí, dando lugar a una cohesión apreciable del material. Según el contenido de agua en los intersticios podemos distinguir tres fases, que se muestran en la figura 2:

1. Pendular: cuando el contenido de agua es bajo solo algunos de los granos están unidos por puentes líquidos.
2. Funicular: casi todos los granos establecen puentes líquidos con sus vecinos.
3. Capilar: todos los granos están inmersos en agua, pero el agua forma meniscos en la superficie.

Figura 2: Fase pendular (izquierda), fase funicular (centro) y fase capilar (derecha).

Estas tres fases se ven reflejadas en la fuerza capilar media entre granos, y por tanto en la cohesión del material. La figura 3 muestra la dependencia de la cohesión con el contenido de agua (el volumen de agua dividido por el volumen total). Cuando la arena está seca la cohesión es cercana a cero. A medida que aumenta el contenido de agua se van estableciendo puentes líquidos y la cohesión aumenta. El máximo se alcanza cerca de la transición entre los estados funicular y capilar. Finalmente, cuando el agua inunda toda la arena, la cohesión cae a cero, porque no hay superficie de separación entre agua y aire.

Figura 3: Dependencia de la cohesión con el contenido de agua (datos obtenidos de https://www.tainstruments.com).

De todo lo anterior se deduce que las condiciones óptimas para hacer un castillo de arena se dan cuando la arena está mojada, pero no saturada en agua. En este último caso el castillo se deshace apenas lo construimos.

Otro factor clave en la construcción de un castillo de arena es la compactación. Cuanto más próximos estén los granos entre sí, mayor será la resistencia de la estructura. Al comprimir la arena húmeda, los granos se unen, lo que reduce el tamaño de los poros y potencia la acción del agua. Mientras que una estructura suelta ofrece pocos puntos de contacto y cede fácilmente, una densa distribuye el peso entre más contactos, haciéndola mucho más estable. Por eso conviene dar unos golpecitos al cubo de playa para compactar la arena antes de darle la vuelta.

Si nos preguntamos por la altura máxima que puede alcanzar una pared vertical del castillo, hemos de tener en cuenta que la fuerza máxima con la que dos granos se atraen debida a un puente líquido es del orden de F=2πγR, con R el radio del grano y γ la tensión superficial del agua. El análisis dimensional nos dice que esta altura crítica es Hc=A·γ/(ρgR), donde ρg es el peso por unidad de volumen y A una constante adimensional. El cálculo detallado nos indica que A depende de propiedades geométricas como el número de contactos. Para agua y un radio de grano de 50 micras, Hc=A · 16 cm. Los experimentos de laboratorio normalmente registran alturas máximas entre 4 cm y 30 cm para arena de sílice pura con un poco de humedad.

También habremos notado que es mucho más fácil caminar sobre la arena mojada que sobre la seca. Esto se debe a que el agua actúa proporcionando rigidez a la arena: los puentes líquidos que se forman entre los granos generan una fuerza de atracción que mantiene la arena compacta. Mientras que en la arena seca el pie se hunde y los granos se desplazan libremente —haciendo que parte de nuestra energía se pierda deformando el suelo—, la arena húmeda ofrece una superficie firme sobre la que impulsarnos de manera eficiente. Sin embargo, si la arena llega a estar totalmente saturada de agua, vuelve a perder su firmeza.

La firmeza que adquiere la arena al humedecerla también facilita el deslizamiento de objetos sobre esta. Investigadores de la Universidad de Ámsterdam [2] demostraron que añadir una pequeña cantidad de agua a la arena reducía significativamente la fricción por deslizamiento. Los investigadores analizaron la fricción por deslizamiento en arena seca y húmeda al arrastrar un trineo cargado. Observaron que, al añadir agua, la fuerza necesaria para tirar del trineo disminuía por debajo de los valores de la arena seca, para luego aumentar cuando el contenido de agua era mayor. Con la arena seca, se formaba un montículo delante del trineo que obstaculizaba su avance. La adición de agua confería mayor rigidez a la arena evitando la acumulación de arena delante del trineo que dificulta el arrastre. Los autores del artículo sugirieron que en el Antiguo Egipto para transportar los pesados bloques de piedra a través del desierto se humedecía la arena con agua para reducir la fricción entre el trineo y el suelo.

Figura 4. Pintura mural de 1880 A.C. en la tumba de Dyehutihotep. Una persona situada en la parte delantera del trineo está vertiendo agua sobre la arena.

El papel de las fuerzas capilares va más allá de un pasatiempo de verano o una curiosidad histórica. Debido a los principios aquí expuestos muchos procedimientos industriales son sensibles al valor de la humedad ambiente. Y la capilaridad se encuentra también detrás de muchos procesos naturales.

Referencias:

[1] Soria-Hoyo, C., Valverde, J. M., & Castellanos, A. (2009). Avalanches in moistened beds of glass beads. Powder Technology, 196(3), 257-262.

[2] Fall, A., Weber, B., Pakpour, M., Lenoir, N., Shahidzadeh, N., Fiscina, J., Wagner, C. & Bonn, D. (2014). Sliding friction on wet and dry sand. Physical Review Letters, 112(17), 175502.