Finalizamos con esta entrada el análisis de cómo la geometría riemanniana abrió el camino a la relatividad general de Einstein (que iniciamos en Riemann y el camino hacia la relatividad general, I y seguimos en Riemann y el camino hacia la relatividad general, II).
Desde el mismo momento en que se empezó a sospechar la existencia de geometrías consistentes que no verificaban el postulado de las paralelas, algunos matemáticos empezaron a cuestionar el carácter euclídeo del espacio físico en que vivimos –algo que había sido dogma de fe hasta entonces–. Por ejemplo, Ferdinand Schweikart (1780-1859), uno de los que primero estudiaron geometrías no euclídeas, postulaba que su geometría astral no euclídea podía ser cierta en regiones lejanas del universo, y el mismísimo Gauss midió triángulos entre montañas para ver si sus ángulos sumaban o no 180 grados. Riemann dedicó párrafos muy significativos en su lección inaugural como privatdozent a tan fundamental asunto, dejando claro que esa cuestión tenía que ser determinada experimentalmente, desautorizando de esta forma los apriorismos de Kant y desafiando el espacio físico euclídeo de Newton. De hecho, el último párrafo de su lección fue bastante premonitorio: «La decisión acerca de estas cuestiones sólo podrá encontrarse abandonando la anterior concepción de los fenómenos, bien contrastada en la experiencia, cuya base fue establecida por Newton, y reformándola poco a poco merced a los hechos que no permite explicar. Las investigaciones que, como la aquí desarrollada, parten de conceptos generales, sólo pueden servir para que dicho trabajo no se vea entorpecido por las limitaciones de los conceptos, y para que los prejuicios transmitidos no impidan el avance en el conocimiento de las conexiones entre las cosas. Esto nos lleva al domino de otra ciencia, al terreno de la física, en el que, dada la naturaleza de la ocasión en que hoy nos encontramos, no podemos penetrar». Hablando en términos bíblicos –por tanto, exagerados–, Riemann parece aquí profetizar la buena nueva de una revolución en física: sesenta y un años después, la historia iba a darle la razón con la teoría de la relatividad general de Einstein.
Einstein erigió su teoría sobre dos principios físicos fundamentales: el de equivalencia, y el de relatividad general.
El primero lo encontró en noviembre de 1907, y afirma: «Es posible sustituir un campo gravitacional homogéneo por un sistema de referencia uniformemente acelerado, siendo este último caso susceptible de tratamiento teórico hasta cierto grado». Esta versión seminal del principio de equivalencia establece que los fenómenos mecánicos en un campo gravitacional homogéneo de valor constante –como el que, grosso modo, afecta a una persona en la Tierra– son indistinguibles de los medidos en un sistema de referencia no afectado por ningún campo gravitatorio que se mueva con aceleración constante igual también al valor del campo gravitacional. Posteriormente, Einstein extendió la equivalencia a todos los campos gravitacionales –sean o no uniformes– y a todos los fenómenos físicos –no sólo los mecánicos–.
El principio de equivalencia permite «explicar» una casualidad sorprendente de la mecánica newtoniana: la igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria. La masa inercial mide la resistencia que opone un objeto a ser movido, mientras que la masa gravitatoria mide su capacidad para atraer a otros cuerpos y su facilidad para ser atraído por otros. Para Einstein esta igualdad no era una casualidad sino reflejo de un principio básico de la naturaleza, el principio de equivalencia; dicho en otras palabras, la igualdad sería consecuencia de la equivalencia de la fuerza de atracción gravitatoria en la Tierra con un movimiento uniformemente acelerado.
El segundo principio, el de relatividad general es, en cierta forma, un principio democrático: las leyes de la física no deben privilegiar ningún estado de movimiento concreto, o sea, no deben depender de la situación de movimiento del observador. Para Einstein, el principio de relatividad general era también estético. Lo que hacía muy difícil dar respuesta a la pregunta fundamental: ¿hasta dónde llevar ese principio democrático/estético? En el proceso de creación de su teoría, Einstein dudó varias veces si la invariancia debía afectar a cualquier estado de movimiento o sólo a algunos especiales. Es muy arriesgado dar respuesta a esta pregunta apelando a consideraciones de elegancia, ya que estas son tan delicadas como cuestionables en ciencia; pero, por otra parte, no había entonces ningún sustento experimental para saber hasta dónde extender el principio de relatividad. La cuestión acabó resolviéndola Einstein dejándose guiar por la heurística matemática del cálculo diferencial absoluto que Ricci y Levi-Civita habían desarrollado para estudiar variedades riemannianas.
Porque, aparte del principio de equivalencia y el de relatividad general –presentes ambos desde el inicio–, Einstein necesitó un tercer ingrediente para desarrollar la teoría general de la relatividad. Se trata de cómo dar forma matemática a esos principios, cómo encontrar unas ecuaciones matemáticas que, respetando esos principios, reflejen adecuadamente el comportamiento del universo. Ese problema lo resolvió a finales de 1911, cuando comprendió que la física debía ser transformada en geometría.
Eso, justamente, es lo que había hecho Hermann Minkowski (1864-1909), que había sido profesor de Einstein en Zurich, con la relatividad especial einsteniana en 1907. Un año después, poco antes de morir, en un conferencia titulada «Espacio y tiempo» pronunciada en Colonia en septiembre de 1908, Minkowski logró exponer su idea con la justa dosis de poesía para que sus palabras transcendieran el ámbito científico: «¡Señores! Las ideas de espacio y tiempo que quiero presentar ante ustedes han surgido del terreno de la física experimental y es ahí donde radica su fuerza. Y son ideas radicales: a partir de ahora, el espacio por sí mismo y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y solamente una especie de unión de los dos conservará la independencia». Dicho con brutal sinceridad, esa «especie de unión» entre espacio y tiempo la consiguió Minkowski usando un espacio de cuatro dimensiones dotado con una geometría casi euclídea. Más explícitamente, Minkowski mostró que para calcular distancias en el espacio asociado a la relatividad especial no podemos separar por un lado las coordenadas espaciales de la temporal, sino que hay que considerar las cuatro coordenadas según la métrica riemanniana dada por
$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2,$$
donde c es la velocidad de la luz.
A Einstein no le gustó inicialmente la idea de Minkowski, y se refirió a ella en términos algo despectivos: «Desde que los matemáticos la han tomado con la teoría de la relatividad, ni yo mismo la entiendo», contó alguien que dijo, añadiendo que ese tratamiento matemático le parecía una «erudición superflua». Pero luego tuvo que rectificar, cuando comprendió que la transformación de la física en geometría, explícita en el espacio/tiempo de Minkowski, señalaba el camino correcto para la formulación matemática de la relatividad general: «Sin las importantes ideas de Minkowski –dijo después–, la teoría general de la relatividad quizá se habría quedado en pañales».
Se puede explicar en pocas palabras qué papel tienen los principios de equivalencia y relatividad general en la conversión de la física en geometría. Sea cual sea la composición material de un cuerpo y la cantidad de materia que tenga, sabemos que desciende con la misma velocidad cuando es sometido al campo gravitatorio de la Tierra; da igual que esté hecho de plomo, de madera o de paja, o de que sea una gigantesca roca del tamaño de una iglesia o una simple canica del tamaño de un grano de arroz –esto no es sino otra manera de ver el principio de equivalencia–. Si pensamos en el movimiento de caída como una curva descrita por las coordenadas tanto espaciales como temporales del cuerpo que cae, esa invariancia de la velocidad sugiere que, casi más que una propiedad de la materia, la gravitación es una propiedad geométrica del espacio y del tiempo. Es como si comprobamos que los ángulos de un triángulo suman 180 grados, siendo indiferente si el triángulo está hecho de madera, de aluminio, de plástico, o simplemente pintado sobre una hoja de papel: al final acabamos pensando que esa propiedad de los triángulos no viene determinada por la materia de que estén compuestos. Es decir, el principio de equivalencia nos acaba llevando a la geometría del espacio/tiempo; mejor dicho, a una geometría curvada del espacio/tiempo. Pero no nos dice cómo de curvado es ese espacio/tiempo; para saberlo tenemos que echar mano del otro principio básico de la gravitación einsteniana: el principio de relatividad general. Dependiendo de hasta dónde extendamos la invariancia de las leyes físicas –si a cualquier tipo de movimiento en que se halle el observador o sólo para algunos, los que tienen aceleración constante, por ejemplo–, el principio de relatividad nos dirá cómo se curva entonces el espacio/tiempo.
De esto es de lo que tomó conciencia Einstein hacia 1911: su teoría de la relatividad general debía de consistir en unas ecuaciones matemáticas que permitieran calcular de qué forma el espacio/tiempo es curvado por la materia que contiene –ya sea el Sol, los planetas, o una galaxia completa–. Según Einstein, es la materia la que da forma a ese espacio/tiempo y, a su vez, es la geometría de ese espacio/tiempo la que forzará a la materia a moverse siguiendo sus líneas geodésicas –esto es, las curvas sobre ese espacio/tiempo con menor longitud–.
El problema para Einstein fue que en 1911 no conocía los trabajos de Riemann ni los de Ricci y Levi-Civita: «Tuve en primer lugar la idea decisiva de la analogía existente entre los problemas matemáticos relacionados con la teoría de la relatividad y la teoría de superficies de Gauss en 1912 –reconocería Einstein con posterioridad–, después de mi vuelta a Zurich, sin que por entonces conociera los trabajos de Riemann, Ricci o Levi-Civita». En Zurich, Einstein se alió con Marcel Grossmann (1878-1936), que había sido compañero suyo de estudios, y se había después especializado en geometría diferencial.
Para describir la geometría del espacio/tiempo, Einstein usó un espacio de cuatro dimensiones, \(x_1,x_2,x_3,x_4,\) las tres primeras miden la ubicación espacial y la cuarta la temporal, y una métrica riemanniana
$$ds^2=\sum_{1=a\le b}^4 g_{ab}dx_adx_b,$$
que vendría a determinar la geometría del espacio/tiempo. Las \(g_{a,b}\) son funciones desconocidas que hay que encontrar a partir del contenido material y energético de un sistema –que puede ser el universo completo o una de sus partes (el sistema solar, por ejemplo)–. Para calcular esas funciones, Einstein tuvo que determinar las ecuaciones que las ligan con el contenido material y energético del sistema. A partir de 1912, Einstein peleó denodadamente por formular esas ecuaciones, con numerosas titubeos sobre el alcance que debía de dar al principio de relatividad general. Finalmente Einstein parió sus ecuaciones el 25 de noviembre de 1915, tras un intensísimo y emocionante esfuerzo final hecho a lo largo de ese mes de noviembre, cuando en un ciclo de cuatro conferencias en la Academia de Berlín llegó a presentar varias versiones erróneas –muy acuciado porque sabía que también David Hilbert batallaba por presentar sus propias ecuaciones, véanse al respecto las entradas Einstein y Hilbert (1) y Einstein y Hilbert (y 2) del Blog del IMUS)–.
En ese largo proceso de génesis de la relatividad general, el aparataje matemático de Riemann, Ricci y Levi-Civita fue fundamental para Einstein. Así lo explicó José Manuel Sánchez Ron en El origen y desarrollo de la relatividad: «En esos años aparecen y juegan un papel esencial, sin la menor duda, argumentos de orden físico, pero existe una dinámica, una heurística matemática, que es la que dirige o establece, en la mayor parte de las ocasiones, cuál es el siguiente paso a dar. Existían motivos físicos para buscar un tensor de segundo orden, pero ¿por qué seleccionar precisamente el tensor de Ricci? La respuesta es obvia, porque existía un aparato matemático, previamente desarrollado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita, con algunas de las características deseadas por Einstein».
Las ecuaciones de la relatividad general se pueden expresar de forma muy compacta, y no es infrecuente que aparezcan impresas en las camisetas que los alumnos de física tratan de vender para sufragarse los típicos viajes de estudios. Una de sus variaciones es la siguiente:
$$R_{ab}-\frac 12Rg_{ab}=8\pi GT_{ab}.$$
Esas ecuaciones hay que entenderlas del siguiente modo. Empecemos por la parte derecha de la ecuación. Ahí se encuentran los datos que conocemos y que vienen representados por el símbolo \(T_{ab}\), que representa la distribución de masa o energía en el espacio –lo que se llama el tensor de energía–; el resto son constantes: el número \(\pi\) y la constante de gravitación universal \(G\). En la parte izquierda se halla lo que desconocemos y, resolviendo la ecuación, queremos calcular. Por un lado, el símbolo \(g_{ab}\) representa las funciones que determinan la geometría del espacio/tiempo, y son las incógnitas que queremos calcular, mientras que el símbolo \(R_{ab}\) es lo que se llama el tensor de Ricci, y viene a establecer cómo hay que combinar las funciones junto con sus variaciones con respecto al tiempo y el espacio; finalmente, \(R\) es denominada curvatura escalar, y viene a medir una especie de promedio global de la curvatura del espacio/tiempo.
Esas ecuaciones son como una metáfora, y su significado se puede sintetizar en una frase tan simple como esclarecedora: «El espacio actúa sobre la materia, diciéndole cómo tiene que moverse, mientras que la materia reacciona diciéndole al espacio cómo tiene que curvarse» –y que se puede leer al inicio del texto Gravitation, de C.W. Misner, K.S. Thorne y J.A. Wheeler, considerado casi desde su aparición en 1973 como la Biblia de la teoría de la relatividad general–. De esta forma, la geometría del espacio/tiempo no es permanente –como lo eran el espacio y el tiempo absolutos newtonianos– sino que cambia con el tiempo; todo lo que contenga materia o porte energía modificará la forma del espacio/tiempo y esa modificación afectará la manera en que la materia se mueve o la luz se propaga.
Esa fue la versión definitiva que Einstein presentó el 25 de noviembre a la Academia. Como él mismo reconoció, había culminado unas semanas de trabajo tan intenso y agotador que «A menudo me he olvidado hasta de comer». Pero había merecido la pena, y en varias cartas de esos días comentaba a amigos y conocidos: «La teoría es de una belleza incomparable»; y también: «El descubrimiento más valioso de mi vida»; e incluso: «Mis mejores sueños se han hecho realidad». Sueños, no conviene olvidarlo, que para hacerse realidad necesitaron todo el trabajo sobre geometrías no euclídeas que los matemáticos habían acumulado en el siglo anterior, bregando además con las críticas de muchos científicos y filósofos, precisamente por gastar tiempo y energías en esas investigaciones.
Referencias:
Antonio J. Durán, El universo sobre nosotros, Crítica, Barcelona, 2015.
Antonio J. Durán, Crónicas matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.
